Chương 4. Nguyên hàm. Tích phân

Chương 4: Nguyên Hàm - Tích Phân

Nguyên hàm và tích phân là hai khái niệm then chốt trong giải tích, đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết nhiều bài toán thực tế. Chương 4 này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện về hai khái niệm này, từ định nghĩa cơ bản đến các ứng dụng nâng cao.

1. Nguyên Hàm

Nguyên hàm của một hàm số f(x) là một hàm số F(x) sao cho đạo hàm của F(x) bằng f(x), tức là F'(x) = f(x). Việc tìm nguyên hàm được gọi là phép tính tích phân bất định.

• Định nghĩa: Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của f(x) trên khoảng I nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc I.
• Tính chất: Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x), với C là một hằng số bất kỳ.
• Các nguyên hàm cơ bản:
  • ∫xⁿ dx = (xⁿ⁺¹)/(n+1) + C (với n ≠ -1)
  • ∫1/x dx = ln|x| + C
  • ∫e^x dx = e^x + C
  • ∫sin(x) dx = -cos(x) + C
  • ∫cos(x) dx = sin(x) + C

2. Tích Phân Bất Định

Tích phân bất định của một hàm số f(x) là tập hợp tất cả các nguyên hàm của f(x). Ký hiệu: ∫f(x) dx.

Ví dụ: ∫2x dx = x² + C

3. Tích Phân Xác Định

Tích phân xác định của một hàm số f(x) trên đoạn [a, b] là một số thực, biểu thị diện tích có dấu giữa đồ thị của hàm số f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a và x = b.

Định nghĩa: ∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a), trong đó F(x) là một nguyên hàm của f(x).

Ý nghĩa hình học: Tích phân xác định biểu diễn diện tích giữa đường cong f(x) và trục x từ x = a đến x = b. Diện tích phía trên trục x được tính là dương, diện tích phía dưới trục x được tính là âm.

4. Các Phương Pháp Tính Tích Phân

• Phương pháp đổi biến số: Sử dụng để đơn giản hóa tích phân bằng cách thay đổi biến số.
• Phương pháp tích phân từng phần: Sử dụng để tính tích phân của tích hai hàm số. Công thức: ∫u dv = uv - ∫v du
• Phương pháp phân tích thành phân thức đơn giản: Sử dụng để tính tích phân của các hàm hữu tỉ.

5. Ứng Dụng của Tích Phân

Tích phân có rất nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau:

• Tính diện tích: Tính diện tích của các hình phẳng giới hạn bởi các đường cong.
• Tính thể tích: Tính thể tích của các vật thể tròn xoay.
• Tính độ dài đường cong: Tính độ dài của một đường cong.
• Tính công thực hiện bởi một lực: Tính công thực hiện bởi một lực dọc theo một đường cong.
• Tính giá trị trung bình của một hàm số: Tính giá trị trung bình của một hàm số trên một khoảng.

6. Bài Tập Vận Dụng

Để nắm vững kiến thức về nguyên hàm và tích phân, bạn nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Dưới đây là một số bài tập mẫu:

1. Tính ∫(x² + 3x + 2) dx
2. Tính ∫₀¹ x³ dx
3. Tính ∫sin(2x) dx
4. Tính ∫x*e^x dx (sử dụng tích phân từng phần)

Chương 4 này là nền tảng quan trọng cho việc học tập và nghiên cứu trong nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật. Hãy dành thời gian ôn tập và thực hành để nắm vững kiến thức này.