Chương 6. Một số yếu tố xác suất

Chương 6 của sách giáo trình này là một bước quan trọng trong việc làm quen với lĩnh vực xác suất và thống kê. Xác suất là một công cụ mạnh mẽ được sử dụng rộng rãi trong khoa học, kỹ thuật, kinh tế và nhiều lĩnh vực khác. Hiểu rõ các yếu tố xác suất cơ bản là nền tảng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn và đưa ra các quyết định dựa trên dữ liệu.

1. Không Gian Mẫu (Sample Space)

Không gian mẫu, ký hiệu là Ω, là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một thí nghiệm ngẫu nhiên. Ví dụ, khi tung một đồng xu, không gian mẫu là Ω = {Sấp, Ngửa}. Khi gieo một con xúc xắc, không gian mẫu là Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Việc xác định chính xác không gian mẫu là bước đầu tiên và quan trọng nhất trong việc tính toán xác suất.

2. Biến Cố (Event)

Biến cố là một tập con của không gian mẫu. Nó đại diện cho một tập hợp các kết quả cụ thể mà chúng ta quan tâm. Ví dụ, trong thí nghiệm tung đồng xu, biến cố “xuất hiện mặt sấp” là A = {Sấp}. Trong thí nghiệm gieo xúc xắc, biến cố “xuất hiện số chẵn” là B = {2, 4, 6}.

3. Xác Suất Của Biến Cố (Probability of an Event)

Xác suất của một biến cố, ký hiệu là P(A), là một số thực nằm trong khoảng [0, 1], biểu thị khả năng xảy ra của biến cố đó. Có nhiều cách để tính xác suất, tùy thuộc vào tính chất của không gian mẫu và biến cố.

• Định nghĩa cổ điển: P(A) = (Số kết quả thuận lợi cho A) / (Tổng số kết quả có thể xảy ra) - Áp dụng khi không gian mẫu là hữu hạn và các kết quả là đồng khả năng.
• Định nghĩa tần số: P(A) ≈ (Số lần A xảy ra) / (Tổng số lần thực hiện thí nghiệm) - Áp dụng khi thực hiện thí nghiệm nhiều lần.
• Định nghĩa tiên nghiệm: Dựa trên kiến thức và kinh nghiệm về đối tượng đang xét.

4. Các Quy Tắc Tính Xác Suất

Có một số quy tắc quan trọng giúp chúng ta tính xác suất một cách dễ dàng hơn:

• Quy tắc cộng xác suất: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) - Áp dụng khi A và B là hai biến cố bất kỳ.
• Quy tắc nhân xác suất: P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A) = P(B) * P(A|B) - Áp dụng khi A và B là hai biến cố phụ thuộc.
• Xác suất có điều kiện: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) - Xác suất của A xảy ra khi biết B đã xảy ra.

5. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ 1: Gieo một con xúc xắc. Tính xác suất để xuất hiện số 3.

Không gian mẫu: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Biến cố A: “xuất hiện số 3” = {3}. P(A) = 1/6.

Ví dụ 2: Rút một lá bài từ bộ bài 52 lá. Tính xác suất để rút được lá Át.

Không gian mẫu: 52 lá bài. Biến cố A: “rút được lá Át” (có 4 lá Át). P(A) = 4/52 = 1/13.

6. Bài Tập Áp Dụng

Để củng cố kiến thức, hãy thử giải các bài tập sau:

1. Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng. Tính xác suất để lấy được 2 quả bóng đỏ.
2. Gieo hai con xúc xắc. Tính xác suất để tổng số chấm trên hai con xúc xắc bằng 7.

Chương 6 cung cấp nền tảng vững chắc cho việc học tập và nghiên cứu sâu hơn về xác suất và thống kê. Việc nắm vững các khái niệm và quy tắc trong chương này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán thực tế một cách hiệu quả và tự tin.