Đề bài
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:
a) \(y = 2{x^3} + 3{{\rm{x}}^2} - 12{\rm{x}} + 1\) trên đoạn \(\left[ { - 1;5} \right]\);
b) \(y = {\left( {x - \sqrt 2 } \right)^2}.{\left( {x + \sqrt 2 } \right)^2}\) trên đoạn \(\left[ { - \frac{1}{2};2} \right]\);
c) \(y = {x^5} - 5{{\rm{x}}^4} + 5{{\rm{x}}^3} + 1\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\);
d) \(y = x + \frac{4}{x}\) trên đoạn \(\left[ {3;4} \right]\);
e) \(y = \sqrt {x - 1} + \sqrt {3 - x} \);
g) \(y = x\sqrt {16 - {x^2}} \).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\):
Bước 1. Tìm các điểm \({x_1},{x_2},...,{x_n}\) thuộc khoảng \(\left( {a;b} \right)\) mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.
Bước 2. Tính \(f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right),f\left( a \right)\) và \(f\left( b \right)\).
Bước 3. So sánh các giá trị tìm được ở Bước 2.
Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\), số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\).
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(y' = 6{x^2} + 6{\rm{x}} - 12\)
Khi đó, trên đoạn \(\left[ { - 1;5} \right]\), \(y' = 0\) khi \(x = 1\).
\(y\left( { - 1} \right) = 14;y\left( 1 \right) = - 6;y\left( 5 \right) = 266\).
Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;5} \right]} y = 266\) tại \(x = 5\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;5} \right]} y = - 6\) tại \(x = 1\).
b) \(y = {\left( {x - \sqrt 2 } \right)^2}.{\left( {x + \sqrt 2 } \right)^2} = {\left[ {\left( {x - \sqrt 2 } \right)\left( {x + \sqrt 2 } \right)} \right]^2} = {\left( {{x^2} - 2} \right)^2} = {x^4} - 4{{\rm{x}}^2} + 4\)
Ta có: \(y' = 4{{\rm{x}}^3} - 8{\rm{x}}\)
Khi đó, trên đoạn \(\left[ { - \frac{1}{2};2} \right]\), \(y' = 0\) khi \(x = 0,x = \sqrt 2 \).
\(y\left( { - \frac{1}{2}} \right) = \frac{{49}}{{16}};y\left( 0 \right) = 4;y\left( {\sqrt 2 } \right) = 0;y\left( 2 \right) = 4\).
Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - \frac{1}{2};2} \right]} y = 4\) tại \(x = 0,{\rm{x}} = 4\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - \frac{1}{2};2} \right]} y = 0\) tại \(x = \sqrt 2 \).
c) Ta có: \(y' = 5{{\rm{x}}^4} - 20{{\rm{x}}^3} + 15{{\rm{x}}^2}\)
Khi đó, trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\), \(y' = 0\) khi \(x = 0,x = 1\).
\(y\left( { - 1} \right) = - 10;y\left( 0 \right) = 1;y\left( 1 \right) = 2;y\left( 2 \right) = - 7\).
Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} y = 2\) tại \(x = 1\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} y = - 10\) tại \(x = - 1\).
d) Ta có: \(y' = 1 - \frac{4}{{{x^2}}}\)
Khi đó, trên đoạn \(\left[ {3;4} \right]\), \(y' = 0\) không có nghiệm.
\(y\left( 3 \right) = \frac{{13}}{3};y\left( 4 \right) = 5\).
Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {3;4} \right]} y = 5\) tại \(x = 4\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {3;4} \right]} y = \frac{{13}}{3}\) tại \(x = 3\).
e) Hàm số có tập xác định là \(\left[ {1;3} \right]\).
Ta có: \(y' = \frac{1}{{\sqrt {x - 1} }} - \frac{1}{{\sqrt {3 - x} }}\)
Khi đó, trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\), \(y' = 0\) khi \(x = 2\).
\(y\left( 1 \right) = \sqrt 2 ;y\left( 2 \right) = 2;y\left( 3 \right) = \sqrt 2 \).
Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} y = 2\) tại \(x = 2\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} y = \sqrt 2 \) tại \(x = 1,x = 3\).
g) Hàm số có tập xác định là \(\left[ { - 4;4} \right]\).
Ta có: \(y' = {\left( x \right)^\prime }\sqrt {16 - {x^2}} + x.{\left( {\sqrt {16 - {x^2}} } \right)^\prime } = \sqrt {16 - {x^2}} + x.\frac{{ - x}}{{\sqrt {16 - {x^2}} }} = \frac{{16 - 2{x^2}}}{{\sqrt {16 - {x^2}} }}\)
Khi đó, trên đoạn \(\left[ { - 4;4} \right]\), \(y' = 0\) khi \(x = - 2\sqrt 2 ,x = 2\sqrt 2 \).
\(y\left( { - 4} \right) = 0;y\left( { - 2\sqrt 2 } \right) = - 8;y\left( {2\sqrt 2 } \right) = 8;y\left( 4 \right) = 0\).
Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 4;4} \right]} y = 8\) tại \(x = 2\sqrt 2 \), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 4;4} \right]} y = - 8\) tại \(x = - 2\sqrt 2 \).
