Đề bài
Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình: \({x^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = 49\).
a) Xác định toạ độ tâm \({\rm{I}}\) và tính bán kính \({\rm{R}}\) của mặt cầu \(\left( S \right)\).
b) Điểm \(A\left( {0;3; - 5} \right)\) có thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) hay không?
c) Điểm \(B\left( {1; - 4; - 1} \right)\) nằm trong hay nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\)?
d) Điểm \(C\left( {7;3; - 5} \right)\) nằm trong hay nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\)?
e) Lập phương trình tham số của đường thẳng \(IC\).
g) Xác định toạ độ các giao điểm \(M,N\) của đường thẳng \(IC\) và mặt cầu.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\) có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) bán kính \(R\).
‒ Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \({\rm{I}}\), bán kính \({\rm{R}}\) và một điểm \(A\).
+ Nếu \(IA < R\): \(A\) nằm trong mặt cầu.
+ Nếu \(IA = R\): \(A\) nằm trên mặt cầu.
+ Nếu \(IA > R\): \(A\) nằm ngoài mặt cầu.
‒ Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\).
Lời giải chi tiết
a) Mặt cầu \({x^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = 49\) có tâm \(I\left( {0; - 4; - 5} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {49} = 7\).
b) Ta có: \(IA = \sqrt {{{\left( {0 - 0} \right)}^2} + {{\left( {3 - \left( { - 4} \right)} \right)}^2} + {{\left( { - 5 - \left( { - 5} \right)} \right)}^2}} = 7 = R\).
Vậy \(A\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\).
c) Ta có: \(IB = \sqrt {{{\left( {1 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 4 - \left( { - 4} \right)} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - \left( { - 5} \right)} \right)}^2}} = \sqrt {17} < R\).
Vậy \(B\) nằm trong mặt cầu \(\left( S \right)\).
d) Ta có: \(IC = \sqrt {{{\left( {7 - 0} \right)}^2} + {{\left( {3 - \left( { - 4} \right)} \right)}^2} + {{\left( { - 5 - \left( { - 5} \right)} \right)}^2}} = \sqrt {65} > R\).
Vậy \(C\) nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\).
e) Ta có \(\overrightarrow {IC} = \left( {7;7;0} \right) = 7\left( {1;1;0} \right)\). Do đó \(\overrightarrow u = \left( {1;1;0} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(IC\).
Đường thẳng đi qua điểm \(I\left( {0; - 4; - 5} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u = \left( {1;1;0} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 4 + t\\z = - 5\end{array} \right.\).
g) Điểm \(M\) là giao điểm của đường thẳng \(IC\) và mặt cầu nên điểm \(M\) nằm trên đường thẳng \(IC\). Vậy điểm \(M\) có toạ độ là: \(M\left( {t; - 4 + t; - 5} \right)\)
Điểm \(M\) nằm trên mặt cầu nên ta có: \({t^2} + {\left( { - 4 + t + 4} \right)^2} + {\left( { - 5 + 5} \right)^2} = 49\) hay \({t^2} = \frac{{49}}{2}\).
Suy ra \(t = \frac{{7\sqrt 2 }}{2}\) hoặc \(t = - \frac{{7\sqrt 2 }}{2}\).
Vậy toạ độ giao điểm của đường thẳng \(IC\) và mặt cầu là: \(M\left( {\frac{{7\sqrt 2 }}{2}; - 4 + \frac{{7\sqrt 2 }}{2}; - 5} \right)\) và \(N\left( { - \frac{{7\sqrt 2 }}{2}; - 4 - \frac{{7\sqrt 2 }}{2}; - 5} \right)\).
