Giải bài 37 trang 60 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Tổng quan nội dung
Giải bài 37 trang 60 SBT Toán 12 Cánh Diều
Tusach.vn cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu bài 37 trang 60 sách bài tập Toán 12 Cánh Diều. Bài giải bao gồm phương pháp giải, đáp án chính xác và các lưu ý quan trọng giúp học sinh hiểu sâu kiến thức và tự tin làm bài tập.
Tính góc giữa đường thẳng (Delta ) và mặt phẳng (left( P right)) trong mỗi trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ): a) (Delta :left{ begin{array}{l}x = 18 - sqrt 3 t\y = 11\z = 5 + tend{array} right.) (với (t) là tham số) và (left( P right):x - sqrt 3 y - z - 3 = 0); b) (Delta :frac{{x - 8}}{2} = frac{{y - 7}}{{ - 3}} = frac{{z - 6}}{3}) và (left( P right):3x - 4y + 5z - 6 = 0).
Đề bài
Tính góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) trong mỗi trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ):
a) \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 18 - \sqrt 3 t\\y = 11\\z = 5 + t\end{array} \right.\) (với \(t\) là tham số) và \(\left( P \right):x - \sqrt 3 y - z - 3 = 0\);
b) \(\Delta :\frac{{x - 8}}{2} = \frac{{y - 7}}{{ - 3}} = \frac{{z - 6}}{3}\) và \(\left( P \right):3x - 4y + 5z - 6 = 0\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\). Khi đó ta có:
\(\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} }}\).
Lời giải chi tiết
a) Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( { - \sqrt 3 ;0;1} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1; - \sqrt 3 ; - 1} \right)\).
Sin của góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng:
\(\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| { - \sqrt 3 .1 + 0.\left( { - \sqrt 3 } \right) + 1.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {15} + \sqrt 5 }}{{10}}\).
Vậy \(\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) \approx {38^ \circ }\).
b) Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2; - 3;3} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {3; - 4;5} \right)\).
Sin của góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng:
\(\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.3 - 3.\left( { - 4} \right) + 3.5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {3^2}} .\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {5^2}} }} = \frac{{3\sqrt {11} }}{{10}}\).
Vậy \(\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) \approx {84^ \circ }\).
Giải bài 37 trang 60 SBT Toán 12 Cánh Diều: Tổng quan
Bài 37 trang 60 sách bài tập Toán 12 Cánh Diều thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào chủ đề Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng để giải quyết các bài toán liên quan đến quan hệ vị trí giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Nội dung chi tiết bài 37 trang 60 SBT Toán 12 Cánh Diều
Bài 37 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
- Dạng 1: Xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng (song song, nằm trong mặt phẳng, cắt nhau).
- Dạng 2: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.
- Dạng 3: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
- Dạng 4: Tìm hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng.
Phương pháp giải bài tập
Để giải quyết các bài tập trong bài 37 trang 60 SBT Toán 12 Cánh Diều, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng:a = (a1, a2, a3)
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng:n = (n1, n2, n3)
- Phương trình đường thẳng:(x - x0)/a1 = (y - y0)/a2 = (z - z0)/a3
- Phương trình mặt phẳng:n1(x - x0) + n2(y - y0) + n3(z - z0) = 0
Các bước giải bài tập thường bao gồm:
- Xác định các yếu tố cần thiết của đường thẳng và mặt phẳng (vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến, điểm thuộc đường thẳng/mặt phẳng).
- Sử dụng các công thức và định lý liên quan để kiểm tra vị trí tương đối hoặc tính toán các đại lượng cần tìm.
- Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.
Ví dụ minh họa
Bài toán: Cho đường thẳng d: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t và mặt phẳng (P): 2x - y + z - 5 = 0. Xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).
Giải:
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là a = (1, -1, 2). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n = (2, -1, 1).
Ta có tích vô hướng a.n = 1*2 + (-1)*(-1) + 2*1 = 5 ≠ 0. Do đó, đường thẳng d và mặt phẳng (P) cắt nhau.
Lưu ý khi giải bài tập
Khi giải bài tập về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, học sinh cần chú ý:
- Nắm vững các định nghĩa, định lý và công thức liên quan.
- Sử dụng đúng các phương pháp giải.
- Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.
- Luyện tập thường xuyên để nâng cao kỹ năng giải bài tập.
Tusach.vn - Hỗ trợ học tập Toán 12 hiệu quả
Tusach.vn là địa chỉ tin cậy cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu các bài tập Toán 12. Chúng tôi luôn cập nhật đáp án mới nhất và cung cấp các phương pháp giải nhanh chóng, hiệu quả giúp học sinh học tập tốt hơn. Hãy truy cập Tusach.vn để khám phá thêm nhiều tài liệu học tập hữu ích khác!