Đề bài
Tính góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) trong mỗi trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ):
a) \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 18 - \sqrt 3 t\\y = 11\\z = 5 + t\end{array} \right.\) (với \(t\) là tham số) và \(\left( P \right):x - \sqrt 3 y - z - 3 = 0\);
b) \(\Delta :\frac{{x - 8}}{2} = \frac{{y - 7}}{{ - 3}} = \frac{{z - 6}}{3}\) và \(\left( P \right):3x - 4y + 5z - 6 = 0\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\). Khi đó ta có:
\(\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} }}\).
Lời giải chi tiết
a) Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( { - \sqrt 3 ;0;1} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1; - \sqrt 3 ; - 1} \right)\).
Sin của góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng:
\(\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| { - \sqrt 3 .1 + 0.\left( { - \sqrt 3 } \right) + 1.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {15} + \sqrt 5 }}{{10}}\).
Vậy \(\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) \approx {38^ \circ }\).
b) Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2; - 3;3} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {3; - 4;5} \right)\).
Sin của góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng:
\(\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.3 - 3.\left( { - 4} \right) + 3.5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {3^2}} .\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {5^2}} }} = \frac{{3\sqrt {11} }}{{10}}\).
Vậy \(\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) \approx {84^ \circ }\).
