Bài 3. Phương trình mặt cầu

Bài 3. Phương trình mặt cầu

Trong chương trình Hình học không gian lớp 11, phương trình mặt cầu là một chủ đề quan trọng. Hiểu rõ về phương trình mặt cầu giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan đến hình học không gian một cách hiệu quả.

1. Định nghĩa mặt cầu và các yếu tố cơ bản

Mặt cầu là tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách một điểm cố định (gọi là tâm) một khoảng không đổi (gọi là bán kính).

• Tâm mặt cầu (I): Điểm cố định trong không gian.
• Bán kính mặt cầu (R): Khoảng cách không đổi từ tâm đến mọi điểm trên mặt cầu.

2. Phương trình chính tắc của mặt cầu

Trong hệ tọa độ Oxyz, phương trình chính tắc của mặt cầu có tâm I(a; b; c) và bán kính R được viết như sau:

(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R²

3. Các dạng phương trình khác của mặt cầu

Ngoài phương trình chính tắc, mặt cầu còn có thể được biểu diễn bằng các dạng phương trình khác:

• Phương trình tổng quát: x² + y² + z² - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 (với a² + b² + c² - d > 0)

4. Xác định tâm và bán kính mặt cầu từ phương trình

Từ phương trình chính tắc (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R², ta có:

• Tâm mặt cầu: I(a; b; c)
• Bán kính mặt cầu: R = √R²

Từ phương trình tổng quát x² + y² + z² - 2ax - 2by - 2cz + d = 0, ta có:

• Tâm mặt cầu: I(a; b; c)
• Bán kính mặt cầu: R = √(a² + b² + c² - d)

5. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Lập phương trình mặt cầu có tâm I(1; -2; 3) và bán kính R = 5.

Giải: Phương trình mặt cầu là: (x - 1)² + (y + 2)² + (z - 3)² = 25

Ví dụ 2: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình: x² + y² + z² - 4x + 2y - 6z + 5 = 0

Giải:

• a = 2, b = -1, c = 3
• Tâm mặt cầu: I(2; -1; 3)
• R = √(2² + (-1)² + 3² - 5) = √10

6. Lưu ý quan trọng

Khi giải các bài toán liên quan đến phương trình mặt cầu, cần chú ý:

• Kiểm tra điều kiện tồn tại của mặt cầu (a² + b² + c² - d > 0).
• Sử dụng các công thức một cách chính xác.
• Phân tích kỹ đề bài để lựa chọn phương pháp giải phù hợp.

7. Bài tập luyện tập

1. Lập phương trình mặt cầu có tâm I(-1; 0; 2) và bán kính R = 3.
2. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình: x² + y² + z² + 2x - 4y + 6z - 11 = 0.
3. Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) và D(1; 1; 1).

Hy vọng bài học này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về phương trình mặt cầu. Chúc bạn học tốt!