Bài 3. Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto

Bài 3: Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto

Trong chương trình học toán, đặc biệt là hình học giải tích, việc hiểu rõ về các phép toán vecto là vô cùng quan trọng. Bài học này sẽ tập trung vào việc biểu diễn và thực hiện các phép toán này bằng tọa độ, giúp bạn dễ dàng hình dung và giải quyết các bài toán một cách hiệu quả.

1. Biểu diễn Vectơ bằng Tọa độ

Một vectơ trong không gian hai chiều (mặt phẳng) có thể được biểu diễn bằng một cặp số (x, y), trong đó x và y là các tọa độ của vectơ. Tương tự, trong không gian ba chiều, một vectơ được biểu diễn bằng bộ ba số (x, y, z). Ví dụ, vectơ a = (2, 3) biểu diễn một vectơ có hoành độ là 2 và tung độ là 3.

2. Phép Cộng Vectơ bằng Tọa độ

Để cộng hai vectơ a = (x₁, y₁) và b = (x₂, y₂), ta cộng các tọa độ tương ứng: a + b = (x₁ + x₂, y₁ + y₂). Ví dụ: (1, 2) + (3, 4) = (4, 6).

3. Phép Trừ Vectơ bằng Tọa độ

Tương tự như phép cộng, để trừ hai vectơ a = (x₁, y₁) và b = (x₂, y₂), ta trừ các tọa độ tương ứng: a - b = (x₁ - x₂, y₁ - y₂). Ví dụ: (5, 6) - (2, 1) = (3, 5).

4. Phép Nhân Vectơ với một Số bằng Tọa độ

Để nhân một vectơ a = (x, y) với một số thực k, ta nhân mỗi tọa độ của vectơ với k: ka = (kx, ky). Ví dụ: 2(1, 3) = (2, 6).

5. Tích Vô hướng của hai Vectơ bằng Tọa độ

Tích vô hướng của hai vectơ a = (x₁, y₁) và b = (x₂, y₂) được tính bằng công thức: a ⋅ b = x₁x₂ + y₁y₂. Tích vô hướng cho ta biết độ tương đồng giữa hai vectơ. Nếu tích vô hướng bằng 0, hai vectơ vuông góc với nhau.

6. Tích có hướng của hai Vectơ bằng Tọa độ

Tích có hướng của hai vectơ a = (x₁, y₁, z₁) và b = (x₂, y₂, z₂) là một vectơ được tính như sau:

a × b = (y₁z₂ - z₁y₂, z₁x₂ - x₁z₂, x₁y₂ - y₁x₂)

Tích có hướng cho ta một vectơ vuông góc với cả hai vectơ a và b. Độ dài của tích có hướng bằng diện tích hình bình hành tạo bởi hai vectơ.

Ví dụ minh họa

Cho hai vectơ a = (1, 2, 3) và b = (4, 5, 6). Hãy tính:

• a + b = (1+4, 2+5, 3+6) = (5, 7, 9)
• a - b = (1-4, 2-5, 3-6) = (-3, -3, -3)
• 3a = (3*1, 3*2, 3*3) = (3, 6, 9)
• a ⋅ b = (1*4) + (2*5) + (3*6) = 4 + 10 + 18 = 32
• a × b = ((2*6 - 3*5), (3*4 - 1*6), (1*5 - 2*4)) = (-3, 6, -3)

Bài tập áp dụng

Hãy tự giải các bài tập sau để củng cố kiến thức:

1. Cho a = (2, -1) và b = (1, 3). Tính a + b, a - b, và 2a.
2. Cho a = (1, 0, -1) và b = (0, 1, 1). Tính a ⋅ b và a × b.

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về biểu thức tọa độ của các phép toán vecto. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và áp dụng vào giải quyết các bài toán thực tế.