Đề bài
Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận xiên của đồ thị mỗi hàm số sau:
a) \(y = 5{\rm{x}} - 2 + \frac{1}{{x + 3}}\);
b) \(y = - 7{\rm{x}} + \frac{{x - 1}}{{{x^2}}}\);
c) \(y = \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}}}}{{ - x + 2}}\);
d) \(y = \frac{{2{{\rm{x}}^2} + 9{\rm{x}}}}{{x + 1}}\);
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Tìm tiệm cận đứng: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right)\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right)\), nếu một trong các giới hạn sau thoả mãn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = - \infty \)
thì đường thẳng \(x = {x_0}\) là đường tiệm cận đứng.
‒ Tìm tiệm cận xiên \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\):
\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x}\) và \(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - ax} \right]\) hoặc
\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x}\) và \(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) - ax} \right]\)
Lời giải chi tiết
a) \(y = 5{\rm{x}} - 2 + \frac{1}{{x + 3}} = \frac{{5{{\rm{x}}^2} + 13{\rm{x}} - 5}}{{x + 3}}\)
Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 3} \right\}\).
Ta có:
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} \frac{{5{{\rm{x}}^2} + 13{\rm{x}} - 5}}{{x + 3}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} \frac{{5{{\rm{x}}^2} + 13{\rm{x}} - 5}}{{x + 3}} = + \infty \)
Vậy \(x = - 3\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
• \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{5{{\rm{x}}^2} + 13{\rm{x}} - 5}}{{x\left( {x + 3} \right)}} = 5\) và
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - 5x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{5{{\rm{x}}^2} + 13{\rm{x}} - 5}}{{x + 3}} - 5x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 2{\rm{x}} - 5}}{{x + 3}} = - 2\)
Vậy đường thẳng \(y = 5{\rm{x}} - 2\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.
b) \(y = - 7{\rm{x}} + \frac{{x - 1}}{{{x^2}}} = \frac{{ - 7{{\rm{x}}^3} + x - 1}}{{{x^2}}}\)
Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).
Ta có:
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{ - 7{{\rm{x}}^3} + x - 1}}{{{x^2}}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{ - 7{{\rm{x}}^3} + x - 1}}{{{x^2}}} = - \infty \)
Vậy \(x = 0\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
• \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 7{{\rm{x}}^3} + x - 1}}{{{x^3}}} = - 7\) và
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) + 7x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{ - 7{{\rm{x}}^3} + x - 1}}{{{x^2}}} + 7x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - 1}}{{{x^2}}} = 0\)
Vậy đường thẳng \(y = - 7{\rm{x}}\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.
c) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).
Ta có:
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}}}}{{ - x + 2}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}}}}{{ - x + 2}} = - \infty \)
Vậy \(x = 2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
• \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}}}}{{x\left( { - x + 2} \right)}} = - 1\) và
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) + x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{{x^2} + 2{\rm{x}}}}{{ - x + 2}} + x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{4{\rm{x}}}}{{ - x + 2}} = - 4\)
Vậy đường thẳng \(y = - x - 4\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.
d) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).
Ta có:
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{2{{\rm{x}}^2} + 9{\rm{x}}}}{{x + 1}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{2{{\rm{x}}^2} + 9{\rm{x}}}}{{x + 1}} = - \infty \)
Vậy \(x = - 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
• \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2{{\rm{x}}^2} + 9{\rm{x}}}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = 2\) và
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - 2x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{2{{\rm{x}}^2} + 9{\rm{x}}}}{{x + 1}} - 2x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{7{\rm{x}}}}{{x + 1}} = 7\)
Vậy đường thẳng \(y = 2{\rm{x}} + 7\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.
