Đề bài
Cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình tham số: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 3t\\y = 4 + t\\z = 5 - 2t\end{array} \right.\) (\(t\) là tham số).
a) Tìm toạ độ của điểm \(M\) thuộc đường thẳng \(\Delta \), biết \(M\) có hoành độ bằng 5.
b) Chứng minh rằng điểm \(N\left( {8;2;9} \right)\) thuộc đường thẳng \(\Delta \).
c) Chứng minh rằng điểm \(P\left( { - 1;5;4} \right)\) không thuộc đường thẳng \(\Delta \). Lập phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta '\), biết \(\Delta '\) đi qua \(P\) và song song với \(\Delta \).
d) Tìm toạ độ của điểm \(I\), biết \(I\) là giao điểm của đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - y + z + 9 = 0\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Để lập phương trình đường thẳng, ta thường chỉ ra toạ độ một điểm thuộc đường thẳng và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.
‒ Cách tìm giao điểm \(I\) của đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\) và mặt phẳng \(\left( P \right):Ax + By + Cz + D = 0\).
Bước 1: Điểm \(I\) nằm trên đường thẳng \(\Delta \) nên \(I\left( {{x_0} + at;{y_0} + bt;{z_0} + ct} \right)\).
Bước 2: \(I \in \left( P \right)\) nên ta có: \(A\left( {{x_0} + at} \right) + B\left( {{y_0} + bt} \right) + C\left( {{z_0} + ct} \right) + D = 0\).
Bước 3: Giải phương trình tìm \(t\) và thay vào \(I\).
Lời giải chi tiết
a) Vì \(M\) thuộc đường thẳng \(\Delta \) nên \(M\left( {2 - 3t;4 + t;5 - 2t} \right)\left( {t \in R} \right)\).
Ta có: \(2--3t = 5\), suy ra \(t = - 1\). Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}{y_M} = 4 + t = 4 + \left( { - 1} \right) = 3\\{z_M} = 5 - 2t = 5 - 2.\left( { - 1} \right) = 7\end{array} \right.\).
Vậy \(M\left( {5;3;7} \right)\).
b) Xét hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}8 = 2 - 3t\\2 = 4 + t\\9 = 5 - 2t\end{array} \right.\). Suy ra \(t = - 2\). Do đó tồn tại số thực \(t\) thoả mãn hệ phương trình. Vậy điểm \(N\left( {8;2;9} \right)\) thuộc đường thẳng \(\Delta \).
c) Xét hệ: \(\left\{ \begin{array}{l} - 1 = 2 - 3t\\5 = 4 + t\\4 = 5 - 2t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\t = 1\\t = \frac{1}{2}\end{array} \right.\). Do đó không tồn tại số thực \(t\) thoả mãn hệ phương trình. Vậy điểm \(P\left( { - 1;5;4} \right)\) không thuộc đường thẳng \(\Delta \).
Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( { - 3;1; - 2} \right)\).
Đường thẳng \(\Delta '\) song song với \(\Delta \) nên có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( { - 3;1; - 2} \right)\).
Phương trình đường thẳng \(\Delta '\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 - 3t'\\y = 5 + t'\\z = 4 - 2t'\end{array} \right.\) (\(t'\) là tham số).
d) Điểm \(I\) nằm trên đường thẳng \(\Delta \) nên \(I\left( {2 - 3t;4 + t;5 - 2t} \right)\).
\(I \in \left( P \right)\) nên ta có: \(\left( {2 - 3t} \right) - \left( {4 + t} \right) + \left( {5 - 2t} \right) + 9 = 0\). Suy ra \(t = 2\).
Vậy \(I\left( { - 4;6;1} \right)\).
