Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số - Hướng dẫn chi tiết
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số là một trong những nội dung quan trọng của chương trình Toán 10, giúp học sinh hiểu sâu hơn về tính chất của hàm số và ứng dụng vào giải quyết các bài toán thực tế. Bài viết này sẽ cung cấp hướng dẫn chi tiết về cách thực hiện khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số, bao gồm các bước thực hiện, ví dụ minh họa và các lưu ý quan trọng.
I. Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
- Xác định tập xác định của hàm số: Tìm khoảng giá trị của x mà hàm số có nghĩa.
- Tính các giá trị đặc biệt:
- Giao điểm với trục hoành (Ox): Giải phương trình y = 0.
- Giao điểm với trục tung (Oy): Tính y khi x = 0.
- Xét tính đơn điệu của hàm số:
- Tính đạo hàm y'.
- Giải phương trình y' = 0 để tìm các điểm cực trị.
- Lập bảng xét dấu y' để xác định khoảng đồng biến và nghịch biến.
- Tìm cực trị của hàm số:
- Cực đại: Điểm mà tại đó y' đổi dấu từ dương sang âm.
- Cực tiểu: Điểm mà tại đó y' đổi dấu từ âm sang dương.
- Tìm giới hạn của hàm số tại vô cùng: Xác định hành vi của hàm số khi x tiến tới vô cùng dương và âm.
- Vẽ đồ thị hàm số: Dựa trên các thông tin đã thu thập được, vẽ đồ thị hàm số trên mặt phẳng tọa độ.
II. Ví dụ minh họa: Khảo sát hàm số y = x2 - 4x + 3
Bước 1: Tập xác định: Hàm số xác định trên R.
Bước 2: Giá trị đặc biệt:
- Giao điểm với trục Ox: x2 - 4x + 3 = 0 => x = 1 hoặc x = 3.
- Giao điểm với trục Oy: y = 3.
Bước 3: Tính đơn điệu:
y' = 2x - 4. Giải y' = 0 => x = 2.
Bảng xét dấu y':
| x | -∞ | 2 | +∞ |
|---|
| y' | - | + | + |
| Hàm số | Đồng biến | Nghịch biến | Đồng biến |
Bước 4: Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, y = -1.
Bước 5: Giới hạn: limx→∞ y = +∞ và limx→-∞ y = +∞.
Bước 6: Vẽ đồ thị: Dựa trên các thông tin trên, ta có thể vẽ được đồ thị hàm số y = x2 - 4x + 3 là một parabol có đỉnh tại (2, -1), đi qua các điểm (1, 0), (3, 0) và (0, 3).
III. Lưu ý khi khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
- Luôn kiểm tra kỹ tập xác định của hàm số.
- Tính đạo hàm chính xác và giải phương trình đạo hàm bằng 0 một cách cẩn thận.
- Lập bảng xét dấu đạo hàm một cách chính xác để xác định khoảng đồng biến và nghịch biến.
- Sử dụng các điểm đặc biệt và giới hạn để vẽ đồ thị chính xác hơn.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về cách khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kỹ năng này và áp dụng vào giải quyết các bài toán thực tế.
