Đề bài
Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \({\Delta _1}:\frac{{x + 7}}{5} = \frac{{y - 1}}{{ - 7}} = \frac{{z + 2}}{{ - 2}}\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 5 - 3t\\y = - 10 - 4t\\z = 3 + 7t\end{array} \right.\) (với \(t\) là tham số);
b) \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 5t\\y = 1 - t\\z = 3t\end{array} \right.\) (với \(t\) là tham số) và \({\Delta _2}:\frac{{x + 2}}{4} = \frac{{y - 1}}{5} = \frac{{z - 1}}{{ - 6}}\);
c) \({\Delta _1}:\frac{x}{3} = \frac{{y + 5}}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 3}}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x - 1}}{{ - 6}} = \frac{{y - 3}}{{ - 4}} = \frac{{z - 1}}{6}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) với: \({\Delta _1}\) đi qua điểm \({M_1}\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \({\Delta _2}\) đi qua điểm \({M_2}\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} \):
• \({\Delta _1}\parallel {\Delta _2}\) nếu \(\left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \overrightarrow 0 \\\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \end{array} \right.\).
• \({\Delta _1}\) cắt \({\Delta _2}\) nếu \(\left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \\\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = 0\end{array} \right.\).
• \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) chéo nhau nếu \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \ne 0\).
Lời giải chi tiết
a) Đường thẳng \({\Delta _1}\) đi qua điểm \({M_1}\left( { - 7;1; - 2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {5; - 7; - 2} \right)\).
Đường thẳng \({\Delta _2}\) đi qua điểm \({M_2}\left( { - 5; - 10;3} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 3; - 4;7} \right)\).
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 57; - 29; - 41} \right),\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( {2; - 11;5} \right)\).
\(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = - 57.2 - 29.\left( { - 11} \right) - 41.5 = 0\). Vậy \({\Delta _1}\) cắt \({\Delta _2}\).
b) Đường thẳng \({\Delta _1}\) đi qua điểm \({M_1}\left( { - 2;1;0} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {5; - 1;3} \right)\).
Đường thẳng \({\Delta _2}\) đi qua điểm \({M_2}\left( { - 2;1;1} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {4;5; - 6} \right)\).
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 9;42;29} \right),\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( {0;0;1} \right)\).
\(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = - 9.0 + 42.0 + 29.1 = 29 \ne 0\). Vậy \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) chéo nhau.
c) Đường thẳng \({\Delta _1}\) đi qua điểm \({M_1}\left( {0; - 5;1} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {3;2; - 3} \right)\).
Đường thẳng \({\Delta _2}\) đi qua điểm \({M_2}\left( {1;3;1} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 6; - 4;6} \right)\).
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {0;0;0} \right) = \overrightarrow 0 ,\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( {1;8;0} \right)\).
\(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right] = \left( {24; - 3;22} \right) \ne \overrightarrow 0 \). Vậy \({\Delta _1}\parallel {\Delta _2}\).
