Đề bài
Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).
Cho hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right):2x - 3y - 6z + 7 = 0,\left( {{P_2}} \right):2x + 2y + z + 8 = 0\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{P_2}} \right)\).
a) Vectơ \(\overrightarrow n = \left( {2; - 3; - 6} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\).
b) Vectơ có toạ độ \(\left( {2; - 2;1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {{P_2}} \right)\).
c) \(\cos \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\) với \(\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} \) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)\).
d) \(\alpha \approx {69^ \circ }\) (làm tròn đến hàng đơn vị của độ).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{P_2}} \right)\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {{A_1};{B_1};{C_1}} \right),\)\(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {{A_2};{B_2};{C_2}} \right)\). Khi đó ta có:
\(\cos \left( {\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)} \right) = \frac{{\left| {{A_1}{A_2} + {B_1}{B_2} + {C_1}{C_2}} \right|}}{{\sqrt {A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} .\sqrt {A_2^2 + B_2^2 + C_2^2} }}\).
Lời giải chi tiết
Mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right):2x - 3y - 6z + 7 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2; - 3; - 6} \right)\). Vậy a) đúng.
Mặt phẳng \(\left( {{P_2}} \right):2x + 2y + z + 8 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {n'} = \left( {2;2;1} \right)\). Vậy b) sai.
Ta có: \(\cos \alpha = \cos \left( {\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\). Vậy c) đúng.
\(\cos \alpha = \cos \left( {\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)} \right) = \frac{{\left| {2.2 + \left( { - 3} \right).2 + \left( { - 6} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{8}{{21}}\).
Suy ra \(\alpha \approx {68^ \circ }\). Vậy d) sai.
a) Đ.
b) S.
c) Đ.
d) S.
