Bài 3. Tích phân - Tổng quan và Lý thuyết
Tích phân là một trong hai phép toán cơ bản của giải tích, cùng với đạo hàm. Về mặt hình học, tích phân có thể được hiểu là diện tích dưới đường cong của một hàm số. Tuy nhiên, khái niệm tích phân còn rộng lớn hơn thế, và có nhiều ứng dụng quan trọng trong các lĩnh vực khác nhau.
1. Khái niệm Tích phân không xác định (Nguyên hàm)
Nguyên hàm của một hàm số f(x) là một hàm số F(x) sao cho đạo hàm của F(x) bằng f(x), tức là F'(x) = f(x). Ký hiệu nguyên hàm của f(x) là ∫f(x)dx = F(x) + C, trong đó C là hằng số tích phân.
- Tính chất của nguyên hàm:
- ∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx
- ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx (với k là hằng số)
2. Khái niệm Tích phân xác định
Tích phân xác định của hàm số f(x) trên đoạn [a, b] là một số thực, ký hiệu là ∫abf(x)dx. Nó biểu diễn diện tích có dấu giữa đồ thị hàm số f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a và x = b.
Công thức tính tích phân xác định: ∫abf(x)dx = F(b) - F(a), trong đó F(x) là một nguyên hàm của f(x).
Các Phương pháp Tính Tích phân
Có nhiều phương pháp để tính tích phân, tùy thuộc vào dạng của hàm số. Dưới đây là một số phương pháp phổ biến:
1. Phương pháp đổi biến số
Phương pháp này được sử dụng khi hàm số dưới dấu tích phân có dạng phức tạp. Ta thực hiện đổi biến số u = g(x) để đưa tích phân về dạng đơn giản hơn.
2. Phương pháp tích phân từng phần
Phương pháp này được sử dụng khi hàm số dưới dấu tích phân là tích của hai hàm số. Công thức tích phân từng phần là: ∫u dv = uv - ∫v du
3. Phương pháp phân tích thành nhân tử
Phương pháp này được sử dụng khi hàm số dưới dấu tích phân có thể phân tích thành nhân tử. Ta phân tích hàm số thành nhân tử và sử dụng các phương pháp tích phân đơn giản hơn.
Ứng dụng của Tích phân
Tích phân có rất nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau, bao gồm:
- Tính diện tích: Tính diện tích của các hình phẳng giới hạn bởi đường cong.
- Tính thể tích: Tính thể tích của các vật thể.
- Tính độ dài đường cong: Tính độ dài của một đường cong.
- Tính công: Tính công thực hiện bởi một lực.
- Tính xác suất: Tính xác suất trong thống kê.
Bài tập Tích phân (Ví dụ)
Bài 1: Tính ∫x2 dx
Giải: ∫x2 dx = (x3)/3 + C
Bài 2: Tính ∫01 x dx
Giải: ∫01 x dx = [(x2)/2]01 = (12)/2 - (02)/2 = 1/2
Bài 3: Tính ∫sin(x) dx
Giải: ∫sin(x) dx = -cos(x) + C
Lưu ý: Để nắm vững kiến thức về tích phân, bạn cần luyện tập thường xuyên và áp dụng các phương pháp tính tích phân một cách linh hoạt.
Chúc bạn học tốt!
