Bài 2. Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes

Bài 2: Công thức xác suất toàn phần và Công thức Bayes

Chào mừng bạn đến với bài học về công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes – hai khái niệm then chốt trong lý thuyết xác suất và thống kê. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện về hai công thức này, từ định nghĩa, công thức, đến các ví dụ minh họa cụ thể và ứng dụng thực tế.

1. Công thức xác suất toàn phần

1.1. Định nghĩa:

Công thức xác suất toàn phần được sử dụng để tính xác suất của một biến cố khi biến cố đó có thể xảy ra thông qua nhiều con đường khác nhau. Nói cách khác, nó cho phép chúng ta phân tích một biến cố phức tạp thành các biến cố đơn giản hơn và tính xác suất tổng thể.

1.2. Công thức:

Giả sử {B₁, B₂, ..., B_n} là một hệ các biến cố đầy đủ (tức là chúng đôi một xung khắc và tổng xác suất của chúng bằng 1). Khi đó, xác suất của biến cố A được tính như sau:

P(A) = P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) + ... + P(A|B_n)P(B_n) = ∑_i=1ⁿ P(A|B_i)P(B_i)

Trong đó:

• P(A|B_i) là xác suất có điều kiện của A khi biết B_i xảy ra.
• P(B_i) là xác suất của biến cố B_i.

1.3. Ví dụ minh họa:

Một nhà máy có hai dây chuyền sản xuất A và B. Dây chuyền A sản xuất 60% tổng số sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi là 2%. Dây chuyền B sản xuất 40% tổng số sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi là 5%. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm, tính xác suất sản phẩm đó là sản phẩm lỗi.

Giải:

Gọi A là biến cố sản phẩm được chọn từ dây chuyền A, B là biến cố sản phẩm được chọn từ dây chuyền B, và L là biến cố sản phẩm là sản phẩm lỗi.

Ta có:

• P(A) = 0.6
• P(B) = 0.4
• P(L|A) = 0.02
• P(L|B) = 0.05

Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

P(L) = P(L|A)P(A) + P(L|B)P(B) = (0.02)(0.6) + (0.05)(0.4) = 0.012 + 0.02 = 0.032

Vậy, xác suất sản phẩm được chọn là sản phẩm lỗi là 3.2%.

2. Công thức Bayes

2.1. Định nghĩa:

Công thức Bayes là một công cụ mạnh mẽ để cập nhật niềm tin của chúng ta về một giả thuyết dựa trên bằng chứng mới. Nó cho phép chúng ta tính xác suất của một biến cố khi biết một biến cố khác đã xảy ra.

2.2. Công thức:

P(B|A) = [P(A|B)P(B)] / P(A)

Trong đó:

• P(B|A) là xác suất hậu nghiệm của B khi biết A xảy ra.
• P(A|B) là khả năng xảy ra của A khi B xảy ra.
• P(B) là xác suất tiên nghiệm của B.
• P(A) là xác suất của A (có thể tính bằng công thức xác suất toàn phần).

2.3. Ví dụ minh họa:

Một bệnh viện thực hiện một xét nghiệm để chẩn đoán một bệnh hiếm gặp. Xét nghiệm có độ chính xác 95% (tức là nếu bệnh nhân mắc bệnh, xét nghiệm sẽ cho kết quả dương tính 95% thời gian, và nếu bệnh nhân không mắc bệnh, xét nghiệm sẽ cho kết quả âm tính 95% thời gian). Tỷ lệ mắc bệnh trong cộng đồng là 1%. Một bệnh nhân được xét nghiệm và kết quả dương tính. Tính xác suất bệnh nhân thực sự mắc bệnh.

Giải:

Gọi B là biến cố bệnh nhân mắc bệnh, và A là biến cố xét nghiệm cho kết quả dương tính.

Ta có:

• P(B) = 0.01
• P(A|B) = 0.95
• P(A|¬B) = 0.05 (xét nghiệm dương tính giả)

Tính P(A) bằng công thức xác suất toàn phần:

P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|¬B)P(¬B) = (0.95)(0.01) + (0.05)(0.99) = 0.0095 + 0.0495 = 0.059

Áp dụng công thức Bayes:

P(B|A) = [P(A|B)P(B)] / P(A) = (0.95 * 0.01) / 0.059 ≈ 0.161

Vậy, xác suất bệnh nhân thực sự mắc bệnh là khoảng 16.1%, mặc dù xét nghiệm cho kết quả dương tính.

3. Ứng dụng của công thức xác suất toàn phần và Bayes

Hai công thức này có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

• Y học: Chẩn đoán bệnh, đánh giá hiệu quả của xét nghiệm.
• Thống kê: Ước lượng tham số, kiểm định giả thuyết.
• Khoa học dữ liệu: Lọc spam, phân loại văn bản, hệ thống gợi ý.
• Kỹ thuật: Kiểm soát chất lượng, dự đoán lỗi.

Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Hãy luyện tập thêm với các bài tập khác nhau để nắm vững kiến thức này nhé!