Đề bài
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\);
b) \(y = \frac{{x + 3}}{{1 - x}}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về sơ đồ khảo sát hàm số phân thức để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
Sơ đồ khảo sát hàm số phân thức
1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số:
+ Tính đạo hàm y’. Tìm các điểm tại đó y’ bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.
+ Xét dấu y’ để chỉ ra các khoảng đơn điệu của hàm số.
+ Tìm cực trị của hàm số.
+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận của đồ thị hàm số.
+ Lập bảng biến thiên của hàm số.
3. Vẽ đồ thị của hàm số dựa vào bảng biến thiên.
Lời giải chi tiết
a) 1. Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)
2. Sự biến thiên:
\(y' = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0\forall x \ne - 1\)
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).
Hàm số không có cực trị.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x + 1}}{{x + 1}} = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x + 1}}{{x + 1}} = 2\). \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{2x + 1}}{{x + 1}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{2x + 1}}{{x + 1}} = - \infty \).
Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x = - 1\) làm tiệm cận đứng và đường thẳng \(y = 2\) làm tiệm cận ngang.
Bảng biến thiên:
3. Đồ thị: Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0;1).
\(y = 0 \Leftrightarrow \frac{{2x + 1}}{{x + 1}} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 1}}{2}\)
Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm \(\left( {\frac{{ - 1}}{2};0} \right)\).
Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(-1; 2) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.
b) 1. Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)
2. Sự biến thiên:
\(y' = \frac{4}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}} > 0\forall x \ne 1\)
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Hàm số không có cực trị.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 3}}{{1 - x}} = - 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x + 3}}{{1 - x}} = - 1\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{x + 3}}{{1 - x}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x + 3}}{{1 - x}} = - \infty \)
Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x = 1\) làm tiệm cận đứng và đường thẳng \(y = - 1\) làm tiệm cận ngang.
Bảng biến thiên:
3. Đồ thị:
Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0; 3).
\(y = 0 \Leftrightarrow \frac{{x + 3}}{{1 - x}} = 0 \Leftrightarrow x = - 3\)
Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm \(\left( { - 3;0} \right)\).
Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(1; -1) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.
