Giải mục 2 trang 69, 70 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Tổng quan nội dung
Giải mục 2 trang 69, 70 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Tusach.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết và dễ hiểu cho mục 2 trang 69, 70 sách giáo khoa Toán 12 tập 1 chương trình Kết nối tri thức. Bài viết này sẽ giúp các em học sinh hiểu rõ lý thuyết và phương pháp giải các bài tập liên quan.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chính xác và cập nhật nhất để hỗ trợ quá trình học tập của các em.
Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
LT3
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 69SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong Ví dụ 3, tính \({\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2}\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức hệ về biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {x';y';z'} \right)\). Ta có:
+ \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {x + x';y + y';z + z'} \right)\)
+ \(k\overrightarrow a = \left( {kx;ky;kz} \right)\) với k là một số thực.
+ \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = xx' + yy' + zz'\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \({\overrightarrow a ^2} = {1^2} + {4^2} + {2^2} = 21;{\overrightarrow b ^2} = {\left( { - 4} \right)^2} + {1^2} + 0 = 17;\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0\)
Do đó, \({\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2} = {\overrightarrow a ^2} + 2.\overrightarrow a .\overrightarrow b + {\overrightarrow b ^2} = 21 + 2.0 + 17 = 38\)
LT4
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 70SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho \(A\left( {0;2;1} \right),B\left( {3; - 2;1} \right)\) và \(C\left( { - 2;5;7} \right)\).
a) Tính chu vi của tam giác ABC.
b) Tính \(\widehat {BAC}\).
Phương pháp giải:
a) Sử dụng kiến thức về độ dài đoạn thẳng trong không gian để tính: Nếu \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)\) và \(B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\) thì \(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}} \)
b) Sử dụng kiến thức về cosin góc của 2 vectơ trong không gian để tính: Nếu \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {x';y';z'} \right)\) là hai vectơ khác \(\overrightarrow 0 \) thì \(\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{xx' + yy' + zz'}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} .\sqrt {x{'^2} + y{'^2} + z{'^2}} }}\)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} \left( {3; - 4;0} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = 5;\)
\(\overrightarrow {AC} \left( { - 2;3;6} \right) \Rightarrow AC = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {3^2} + {6^2}} = 7\)
Vậy chu vi tam giác ABC là:
b) Vì \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{3.\left( { - 2} \right) + \left( { - 4} \right).3 + 0.6}}{{5.7}} = \frac{{ - 18}}{{35}} \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) \approx 120,{9^0}\)
Nên \(\widehat {BAC} = {180^0} - 120,{9^0} = 59,{1^0}\).
HĐ3
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 69SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {x';y';z'} \right)\).
a) Giải thích vì sao \(\overrightarrow i .\overrightarrow i = 1\) và \(\overrightarrow i .\overrightarrow j = \overrightarrow i .\overrightarrow k = 0\).
b) Sử dụng biểu diễn \(\overrightarrow a = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) để tính các tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow i ;\overrightarrow a .\overrightarrow j \) và \(\overrightarrow a .\overrightarrow k \).
c) Sử dụng biểu diễn \(\overrightarrow b = x'\overrightarrow i + y'\overrightarrow j + z'\overrightarrow k \) để tính các tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong không gian để tính: Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) đều khác \(\overrightarrow 0 \). Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là một số, kí hiệu là \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \), được xác định bởi công thức sau: \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).
Sử dụng kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ trong không gian để tính: Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \) đều khác \(\overrightarrow 0 \). Khi đó, \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0\)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(\overrightarrow i .\overrightarrow i = \left| {\overrightarrow i } \right|.\left| {\overrightarrow i } \right|.\cos {0^0} = {\left| {\overrightarrow i } \right|^2} = 1\)
Vì \(\overrightarrow i \bot \overrightarrow j \Rightarrow \overrightarrow i .\overrightarrow j = 0;\overrightarrow i \bot \overrightarrow k \Rightarrow \overrightarrow i .\overrightarrow k = 0\)
b) Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow i = \left( {x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k } \right)\overrightarrow i = x.{\overrightarrow i ^2} + y\overrightarrow {.j} .\overrightarrow i + z.\overrightarrow k .\overrightarrow i = x\)
\(\overrightarrow a .\overrightarrow j = \left( {x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k } \right)\overrightarrow j = x\overrightarrow i .\overrightarrow j + y{\overrightarrow j ^2} + z\overrightarrow k .\overrightarrow j = y\)
\(\overrightarrow a .\overrightarrow k = \left( {x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k } \right).\overrightarrow k = x\overrightarrow i .\overrightarrow k + y\overrightarrow j .\overrightarrow k + z.{\overrightarrow k ^2} = z\)
c) Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left( {x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k } \right).\left( {x'\overrightarrow i + y'\overrightarrow j + z'\overrightarrow k } \right)\)
\( = xx'{\overrightarrow i ^2} + xy'.\overrightarrow i .\overrightarrow j + xz'\overrightarrow i .\overrightarrow k + x'y.\overrightarrow i .\overrightarrow j + yy'.{\overrightarrow j ^2} + yz'\overrightarrow j .\overrightarrow k + zx'.\overrightarrow k .\overrightarrow i + zy'.\overrightarrow k \overrightarrow j + zz'{\overrightarrow k ^2}\)
Mà \(\overrightarrow i .\overrightarrow k = 0;\overrightarrow i .\overrightarrow j = 0;\overrightarrow j .\overrightarrow k = 0\) nên: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = xx' + yy' + zz'\)
- HĐ3
- LT3
- LT4
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 69SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {x';y';z'} \right)\).
a) Giải thích vì sao \(\overrightarrow i .\overrightarrow i = 1\) và \(\overrightarrow i .\overrightarrow j = \overrightarrow i .\overrightarrow k = 0\).
b) Sử dụng biểu diễn \(\overrightarrow a = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) để tính các tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow i ;\overrightarrow a .\overrightarrow j \) và \(\overrightarrow a .\overrightarrow k \).
c) Sử dụng biểu diễn \(\overrightarrow b = x'\overrightarrow i + y'\overrightarrow j + z'\overrightarrow k \) để tính các tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong không gian để tính: Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) đều khác \(\overrightarrow 0 \). Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là một số, kí hiệu là \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \), được xác định bởi công thức sau: \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).
Sử dụng kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ trong không gian để tính: Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \) đều khác \(\overrightarrow 0 \). Khi đó, \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0\)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(\overrightarrow i .\overrightarrow i = \left| {\overrightarrow i } \right|.\left| {\overrightarrow i } \right|.\cos {0^0} = {\left| {\overrightarrow i } \right|^2} = 1\)
Vì \(\overrightarrow i \bot \overrightarrow j \Rightarrow \overrightarrow i .\overrightarrow j = 0;\overrightarrow i \bot \overrightarrow k \Rightarrow \overrightarrow i .\overrightarrow k = 0\)
b) Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow i = \left( {x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k } \right)\overrightarrow i = x.{\overrightarrow i ^2} + y\overrightarrow {.j} .\overrightarrow i + z.\overrightarrow k .\overrightarrow i = x\)
\(\overrightarrow a .\overrightarrow j = \left( {x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k } \right)\overrightarrow j = x\overrightarrow i .\overrightarrow j + y{\overrightarrow j ^2} + z\overrightarrow k .\overrightarrow j = y\)
\(\overrightarrow a .\overrightarrow k = \left( {x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k } \right).\overrightarrow k = x\overrightarrow i .\overrightarrow k + y\overrightarrow j .\overrightarrow k + z.{\overrightarrow k ^2} = z\)
c) Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left( {x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k } \right).\left( {x'\overrightarrow i + y'\overrightarrow j + z'\overrightarrow k } \right)\)
\( = xx'{\overrightarrow i ^2} + xy'.\overrightarrow i .\overrightarrow j + xz'\overrightarrow i .\overrightarrow k + x'y.\overrightarrow i .\overrightarrow j + yy'.{\overrightarrow j ^2} + yz'\overrightarrow j .\overrightarrow k + zx'.\overrightarrow k .\overrightarrow i + zy'.\overrightarrow k \overrightarrow j + zz'{\overrightarrow k ^2}\)
Mà \(\overrightarrow i .\overrightarrow k = 0;\overrightarrow i .\overrightarrow j = 0;\overrightarrow j .\overrightarrow k = 0\) nên: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = xx' + yy' + zz'\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 69SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong Ví dụ 3, tính \({\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2}\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức hệ về biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {x';y';z'} \right)\). Ta có:
+ \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {x + x';y + y';z + z'} \right)\)
+ \(k\overrightarrow a = \left( {kx;ky;kz} \right)\) với k là một số thực.
+ \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = xx' + yy' + zz'\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \({\overrightarrow a ^2} = {1^2} + {4^2} + {2^2} = 21;{\overrightarrow b ^2} = {\left( { - 4} \right)^2} + {1^2} + 0 = 17;\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0\)
Do đó, \({\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2} = {\overrightarrow a ^2} + 2.\overrightarrow a .\overrightarrow b + {\overrightarrow b ^2} = 21 + 2.0 + 17 = 38\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 70SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho \(A\left( {0;2;1} \right),B\left( {3; - 2;1} \right)\) và \(C\left( { - 2;5;7} \right)\).
a) Tính chu vi của tam giác ABC.
b) Tính \(\widehat {BAC}\).
Phương pháp giải:
a) Sử dụng kiến thức về độ dài đoạn thẳng trong không gian để tính: Nếu \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)\) và \(B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\) thì \(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}} \)
b) Sử dụng kiến thức về cosin góc của 2 vectơ trong không gian để tính: Nếu \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {x';y';z'} \right)\) là hai vectơ khác \(\overrightarrow 0 \) thì \(\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{xx' + yy' + zz'}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} .\sqrt {x{'^2} + y{'^2} + z{'^2}} }}\)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} \left( {3; - 4;0} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = 5;\)
\(\overrightarrow {AC} \left( { - 2;3;6} \right) \Rightarrow AC = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {3^2} + {6^2}} = 7\)
Vậy chu vi tam giác ABC là:
b) Vì \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{3.\left( { - 2} \right) + \left( { - 4} \right).3 + 0.6}}{{5.7}} = \frac{{ - 18}}{{35}} \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) \approx 120,{9^0}\)
Nên \(\widehat {BAC} = {180^0} - 120,{9^0} = 59,{1^0}\).
Giải mục 2 trang 69, 70 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức: Tổng quan và Phương pháp giải
Mục 2 của chương trình Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức tập trung vào các kiến thức về giới hạn của hàm số. Đây là một trong những khái niệm nền tảng quan trọng trong giải tích, đóng vai trò then chốt trong việc hiểu và giải quyết các bài toán về đạo hàm, tích phân và các ứng dụng của chúng.
Nội dung chính của Mục 2
- Khái niệm giới hạn của hàm số tại một điểm: Hiểu rõ định nghĩa, ý nghĩa và các tính chất cơ bản của giới hạn.
- Giới hạn một bên: Phân biệt và vận dụng giới hạn trái, giới hạn phải trong các bài toán cụ thể.
- Các dạng giới hạn cơ bản: Nắm vững các dạng giới hạn thường gặp và các phương pháp tính giới hạn tương ứng.
- Ứng dụng của giới hạn: Sử dụng giới hạn để giải quyết các bài toán về sự liên tục của hàm số.
Các bài tập trong Mục 2 trang 69, 70 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Các bài tập trong mục này thường yêu cầu học sinh:
- Tính giới hạn của hàm số tại một điểm bằng định nghĩa.
- Sử dụng các tính chất của giới hạn để đơn giản hóa biểu thức và tính giới hạn.
- Xác định giới hạn một bên của hàm số.
- Kiểm tra tính liên tục của hàm số tại một điểm.
Phương pháp giải các bài tập về giới hạn
Để giải các bài tập về giới hạn một cách hiệu quả, các em có thể áp dụng các phương pháp sau:
- Phương pháp trực tiếp: Thay trực tiếp giá trị của x vào hàm số để tính giới hạn (nếu có thể).
- Phương pháp phân tích thành nhân tử: Phân tích biểu thức chứa giới hạn thành nhân tử để rút gọn và tính giới hạn.
- Phương pháp nhân liên hợp: Nhân tử và mẫu số với biểu thức liên hợp để khử dạng vô định.
- Phương pháp sử dụng giới hạn đặc biệt: Áp dụng các giới hạn đặc biệt như lim (sin x)/x = 1 khi x -> 0.
- Quy tắc L'Hopital: Sử dụng quy tắc L'Hopital để tính giới hạn của các hàm số có dạng vô định.
Ví dụ minh họa: Giải bài tập 1.23 trang 70 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Đề bài: Tính limx→2 (x2 - 4) / (x - 2)
Lời giải:
Ta có:
limx→2 (x2 - 4) / (x - 2) = limx→2 (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = limx→2 (x + 2) = 2 + 2 = 4
Lưu ý khi học và giải bài tập về giới hạn
- Nắm vững định nghĩa và các tính chất của giới hạn.
- Luyện tập thường xuyên để làm quen với các dạng bài tập khác nhau.
- Sử dụng các phương pháp giải phù hợp với từng bài toán cụ thể.
- Kiểm tra lại kết quả sau khi giải bài tập.
Tusach.vn hy vọng rằng với những hướng dẫn chi tiết và ví dụ minh họa trên, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc giải các bài tập về giới hạn của hàm số trong Mục 2 trang 69, 70 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức. Chúc các em học tập tốt!
| Chủ đề | Nội dung chính |
|---|---|
| Giới hạn hàm số | Định nghĩa, tính chất, giới hạn một bên |
| Phương pháp giải | Trực tiếp, phân tích, nhân liên hợp, L'Hopital |