Bài 7. Hệ trục tọa độ trong không gian

Hệ trục tọa độ trong không gian Oxyz là một công cụ quan trọng trong hình học không gian, cho phép chúng ta biểu diễn vị trí của các điểm, vectơ và các đối tượng hình học khác một cách chính xác và dễ dàng. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn tổng quan về hệ trục tọa độ trong không gian, bao gồm các khái niệm cơ bản, công thức tính toán và ứng dụng thực tế.

1. Hệ trục tọa độ Oxyz

Hệ trục tọa độ Oxyz là một hệ tọa độ ba chiều được xác định bởi ba trục vuông góc với nhau tại một điểm gốc O. Ba trục này thường được ký hiệu là Ox, Oy và Oz. Mỗi điểm trong không gian có thể được xác định duy nhất bởi một bộ ba số thực (x, y, z), được gọi là tọa độ của điểm đó.

2. Tọa độ của điểm và vectơ trong không gian

Để xác định tọa độ của một điểm M trong không gian, ta chiếu M lên ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz. Tọa độ của M là (x, y, z), trong đó x, y, z lần lượt là hoành độ, tung độ và cao độ của M.

Một vectơ a trong không gian được xác định bởi bộ bốn số thực (a_x, a_y, a_z), được gọi là tọa độ của vectơ a. Nếu A(x_A, y_A, z_A) và B(x_B, y_B, z_B) là hai điểm trong không gian, thì vectơ AB có tọa độ (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A).

3. Các phép toán trên vectơ trong không gian

• Phép cộng vectơ:a + b = (a_x + b_x, a_y + b_y, a_z + b_z)
• Phép trừ vectơ:a - b = (a_x - b_x, a_y - b_y, a_z - b_z)
• Phép nhân vectơ với một số thực: ka = (ka_x, ka_y, ka_z)

4. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

Tích vô hướng của hai vectơ a = (a_x, a_y, a_z) và b = (b_x, b_y, b_z) được tính bằng công thức:

a ⋅ b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z

Tích vô hướng được sử dụng để tính góc giữa hai vectơ, kiểm tra tính vuông góc của hai vectơ và tính độ dài của một vectơ.

5. Tích có hướng của hai vectơ trong không gian

Tích có hướng của hai vectơ a = (a_x, a_y, a_z) và b = (b_x, b_y, b_z) là một vectơ c = a x b, có tọa độ được tính bằng công thức:

c = (a_yb_z - a_zb_y, a_zb_x - a_xb_z, a_xb_y - a_yb_x)

Tích có hướng được sử dụng để tìm một vectơ vuông góc với cả hai vectơ a và b, tính diện tích của hình bình hành tạo bởi hai vectơ và kiểm tra tính cùng phương của hai vectơ.

6. Ứng dụng của hệ trục tọa độ trong không gian

Hệ trục tọa độ trong không gian có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau, bao gồm:

• Vật lý: Mô tả vị trí, vận tốc, gia tốc của các vật thể trong không gian.
• Kỹ thuật: Thiết kế và xây dựng các công trình kiến trúc, máy móc, thiết bị.
• Đồ họa máy tính: Tạo ra các hình ảnh 3D, mô phỏng các hiện tượng vật lý.
• Địa lý: Xác định vị trí các địa điểm trên bề mặt Trái Đất.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về hệ trục tọa độ trong không gian. Hãy luyện tập thêm các bài tập để nắm vững kiến thức và áp dụng vào giải quyết các bài toán thực tế.

Truy cập tusach.vn để xem thêm nhiều tài liệu học tập và giải bài tập Toán 12.