Bài 18: Xác suất có điều kiện - Tổng quan
Xác suất có điều kiện là một khái niệm cơ bản trong lý thuyết xác suất, cho phép chúng ta tính toán xác suất của một sự kiện khi biết rằng một sự kiện khác đã xảy ra. Nó là một công cụ quan trọng trong nhiều lĩnh vực, bao gồm thống kê, khoa học dữ liệu, và các ứng dụng thực tế như y học, tài chính và kỹ thuật.
1. Định nghĩa
Giả sử A và B là hai biến cố trong cùng một không gian mẫu Ω. Xác suất của biến cố A khi biết biến cố B đã xảy ra, ký hiệu là P(A|B), được gọi là xác suất có điều kiện của A khi biết B. Công thức tính xác suất có điều kiện là:
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) (với P(B) > 0)
Trong đó:
- P(A|B): Xác suất của A khi biết B đã xảy ra.
- P(A ∩ B): Xác suất của biến cố giao của A và B (A và B cùng xảy ra).
- P(B): Xác suất của biến cố B.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Rút ngẫu nhiên 2 quả bóng. Tính xác suất để quả bóng thứ hai là màu đỏ, biết rằng quả bóng thứ nhất là màu đỏ.
Giải:
Gọi A là biến cố “quả bóng thứ hai là màu đỏ” và B là biến cố “quả bóng thứ nhất là màu đỏ”. Ta cần tính P(A|B).
P(A ∩ B) = (5/8) * (4/7) = 20/56
P(B) = 5/8
P(A|B) = (20/56) / (5/8) = 4/7
3. Các công thức liên quan
a) Công thức nhân xác suất: P(A ∩ B) = P(A|B) * P(B) = P(B|A) * P(A)
b) Biến cố độc lập: Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu P(A|B) = P(A) hoặc P(B|A) = P(B). Khi đó, P(A ∩ B) = P(A) * P(B).
4. Bài tập vận dụng
Bài 1: Một cuộc khảo sát cho thấy 60% người dân thích xem phim hành động và 40% người dân thích xem phim hài. 20% người dân thích xem cả hai loại phim. Tính xác suất để một người được chọn ngẫu nhiên thích xem phim hành động, biết rằng họ thích xem phim hài.
Bài 2: Trong một lớp học có 15 học sinh, 8 học sinh thích môn Toán và 7 học sinh thích môn Văn. 3 học sinh thích cả hai môn. Tính xác suất để một học sinh được chọn ngẫu nhiên thích môn Toán, biết rằng họ thích môn Văn.
5. Ứng dụng thực tế
Xác suất có điều kiện được sử dụng rộng rãi trong:
- Y học: Tính xác suất mắc bệnh khi có một số triệu chứng nhất định.
- Tài chính: Đánh giá rủi ro tín dụng và dự đoán biến động thị trường.
- Marketing: Phân tích hành vi khách hàng và tối ưu hóa chiến dịch quảng cáo.
- Kỹ thuật: Đánh giá độ tin cậy của hệ thống và dự đoán lỗi.
6. Lưu ý quan trọng
Khi tính xác suất có điều kiện, điều quan trọng là phải xác định rõ không gian mẫu mới, tức là không gian mẫu đã bị thu hẹp do biết một sự kiện đã xảy ra. Việc hiểu rõ định nghĩa và công thức là chìa khóa để giải quyết các bài toán liên quan đến xác suất có điều kiện một cách chính xác.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về Bài 18. Xác suất có điều kiện. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức này nhé!
