Chương 3. Các số đo đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm

Trong thống kê, việc mô tả một tập dữ liệu không chỉ dừng lại ở việc tìm các giá trị trung tâm như trung bình cộng, trung vị, mốt. Để có cái nhìn toàn diện hơn, chúng ta cần đo lường mức độ phân tán của dữ liệu, tức là xem các giá trị trong tập dữ liệu đó trải rộng như thế nào xung quanh giá trị trung tâm.

1. Các khái niệm cơ bản về độ phân tán

Độ phân tán thể hiện mức độ đồng nhất hoặc khác biệt của các giá trị trong một tập dữ liệu. Một tập dữ liệu có độ phân tán lớn cho thấy các giá trị phân tán rộng, trong khi độ phân tán nhỏ cho thấy các giá trị tập trung gần nhau.

Một số khái niệm quan trọng liên quan đến độ phân tán bao gồm:

• Khoảng biến thiên (Range): Hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong tập dữ liệu. Đây là số đo đơn giản nhất nhưng dễ bị ảnh hưởng bởi các giá trị ngoại lệ.
• Tứ phân vị (Quartiles): Chia tập dữ liệu thành bốn phần bằng nhau. Q1 (tứ phân vị thứ nhất), Q2 (tứ phân vị thứ hai - tương đương trung vị), Q3 (tứ phân vị thứ ba).
• Khoảng tứ phân vị (Interquartile Range - IQR): Hiệu giữa Q3 và Q1. Ít bị ảnh hưởng bởi các giá trị ngoại lệ hơn khoảng biến thiên.

2. Phương sai (Variance)

Phương sai là một số đo quan trọng về độ phân tán. Nó được tính bằng trung bình cộng của bình phương độ lệch của mỗi giá trị so với giá trị trung bình.

Công thức tính phương sai mẫu (s²):

s² = Σ(x_i - x̄)² / (n - 1)

Trong đó:

• x_i là giá trị thứ i trong tập dữ liệu
• x̄ là giá trị trung bình của tập dữ liệu
• n là số lượng giá trị trong tập dữ liệu

3. Độ lệch chuẩn (Standard Deviation)

Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai. Nó cung cấp một số đo về độ phân tán theo đơn vị gốc của dữ liệu, giúp dễ dàng diễn giải hơn.

Công thức tính độ lệch chuẩn mẫu (s):

s = √s²

4. Số đo phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

Khi làm việc với dữ liệu ghép nhóm (dữ liệu được chia thành các khoảng), chúng ta không thể tính toán trực tiếp phương sai và độ lệch chuẩn như với dữ liệu gốc. Thay vào đó, chúng ta sử dụng các công thức ước lượng.

Công thức ước lượng phương sai cho mẫu số liệu ghép nhóm:

s² ≈ Σf_i(x_i - x̄)² / (n - 1)

Trong đó:

• f_i là tần số của khoảng thứ i
• x_i là trung điểm của khoảng thứ i
• x̄ là giá trị trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm
• n là tổng số lượng quan sát

5. Ứng dụng của các số đo phân tán

Các số đo phân tán có nhiều ứng dụng trong thực tế:

• Kiểm soát chất lượng: Đánh giá sự đồng đều của sản phẩm.
• Phân tích rủi ro: Đo lường mức độ biến động của các khoản đầu tư.
• Nghiên cứu khoa học: So sánh sự khác biệt giữa các nhóm đối tượng.

6. Ví dụ minh họa

Giả sử chúng ta có một mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của 50 học sinh:

Chúng ta có thể sử dụng các công thức trên để tính toán phương sai và độ lệch chuẩn của chiều cao của các học sinh này.

Việc hiểu và áp dụng các số đo phân tán là rất quan trọng trong việc phân tích và diễn giải dữ liệu một cách chính xác và hiệu quả. Chương này cung cấp nền tảng kiến thức cần thiết để bạn có thể tự tin thực hiện các phân tích thống kê phức tạp hơn.