Bài 11. Nguyên hàm

Chào mừng các em học sinh đến với bài học Bài 11. Nguyên hàm trong chương trình Toán 12. Đây là một khái niệm then chốt để hiểu và giải quyết các bài toán về tích phân. Bài viết này sẽ cung cấp cho các em một cái nhìn tổng quan về nguyên hàm, bao gồm định nghĩa, tính chất, các quy tắc tìm nguyên hàm và hướng dẫn giải các dạng bài tập thường gặp.

1. Định nghĩa Nguyên hàm

Nguyên hàm của một hàm số f(x) trên một khoảng K là một hàm số F(x) sao cho F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K. Ký hiệu: ∫f(x)dx = F(x) + C, trong đó C là hằng số tích phân.

Ví dụ: ∫2x dx = x² + C

2. Tính chất của Nguyên hàm

• ∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx
• ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx (với k là hằng số)

3. Các quy tắc tìm Nguyên hàm cơ bản

1. Nguyên hàm của hàm lũy thừa: ∫xⁿ dx = (xⁿ⁺¹)/(n+1) + C (với n ≠ -1)
2. Nguyên hàm của hàm mũ: ∫e^x dx = e^x + C
3. Nguyên hàm của hàm lượng giác:
   • ∫sin(x) dx = -cos(x) + C
   • ∫cos(x) dx = sin(x) + C
4. Nguyên hàm của hàm 1/x: ∫(1/x) dx = ln|x| + C

4. Phương pháp tìm Nguyên hàm

a. Phương pháp đặt ẩn phụ: Sử dụng khi biểu thức dưới dấu tích phân có dạng phức tạp. Đặt u = g(x), du = g'(x)dx để đưa về dạng đơn giản hơn.

b. Phương pháp tích phân từng phần: Sử dụng khi biểu thức dưới dấu tích phân là tích của hai hàm số. Công thức: ∫u dv = uv - ∫v du

5. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính ∫(x² + 3x - 1)dx

Giải:

∫(x² + 3x - 1)dx = ∫x² dx + 3∫x dx - ∫1 dx = (x³)/3 + (3x²)/2 - x + C

Ví dụ 2: Tính ∫x.e^x dx (sử dụng tích phân từng phần)

Giải:

Đặt u = x, dv = e^x dx. Suy ra du = dx, v = e^x. Áp dụng công thức tích phân từng phần:

∫x.e^x dx = x.e^x - ∫e^x dx = x.e^x - e^x + C

6. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, các em hãy tự giải các bài tập sau:

• ∫(2x³ - 5x + 2)dx
• ∫x.cos(x) dx
• ∫(1/x + 1)dx

Lưu ý: Luôn nhớ thêm hằng số tích phân C vào cuối mỗi kết quả tìm nguyên hàm.

Hy vọng bài viết này đã giúp các em hiểu rõ hơn về Bài 11. Nguyên hàm. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!