Giải bài tập 4.11 trang 18 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một vật chuyển động dọc theo một đường thẳng sao cho vận tốc của nó tại thời điểm t (giây) là \(v\left( t \right) = {t^2} - t - 6\) (m/s).

a) Tìm độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian \(1 \le t \le 4\), tức là tính \(\int\limits_1^4 {v\left( t \right)dt} \).

b) Tìm tổng quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian này, tức là tính \(\int\limits_1^4 {\left| {v\left( t \right)} \right|dt} \). 

Lời giải chi tiết

a) Độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian \(1 \le t \le 4\) là:

\(\int\limits_1^4 {v\left( t \right)dt} = \int\limits_1^4 {\left( {{t^2} - t - 6} \right)dt} = \left( {\frac{{{t^3}}}{3} - \frac{{{t^2}}}{2} - 6t} \right)\left| \begin{array}{l}4\\1\end{array} \right. = \left( {\frac{{{4^3}}}{3} - \frac{{{4^2}}}{2} - 6.4} \right) - \left( {\frac{{{1^3}}}{3} - \frac{{{1^2}}}{2} - 6.1} \right) = \frac{{ - 9}}{2}\)

Vậy vật dịch chuyển \(\frac{9}{2}m\) trong khoảng thời gian \(1 \le t \le 4\).

b) Tổng quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian này là:

\(\int\limits_1^4 {\left| {v\left( t \right)} \right|dt} = \int\limits_1^4 {\left| {{t^2} - t - 6} \right|dt} = \int\limits_1^3 {\left| {{t^2} - t - 6} \right|dt} + \int\limits_3^4 {\left| {{t^2} - t - 6} \right|dt} = - \int\limits_1^3 {\left( {{t^2} - t - 6} \right)dt} + \int\limits_3^4 {\left( {{t^2} - t - 6} \right)dt} \)

\( = - \left( {\frac{{{t^3}}}{3} - \frac{{{t^2}}}{2} - 6t} \right)\left| \begin{array}{l}3\\1\end{array} \right. + \left( {\frac{{{t^3}}}{3} - \frac{{{t^2}}}{2} - 6t} \right)\left| \begin{array}{l}4\\3\end{array} \right.\)

\( = - \left[ {\left( {\frac{{{3^3}}}{3} - \frac{{{3^2}}}{2} - 6.3} \right) - \left( {\frac{{{1^3}}}{3} - \frac{{{1^2}}}{2} - 6.1} \right)} \right] + \left[ {\left( {\frac{{{4^3}}}{3} - \frac{{{4^2}}}{2} - 6.4} \right) - \left( {\frac{{{3^3}}}{3} - \frac{{{3^2}}}{2} - 6.3} \right)} \right] = \frac{{22}}{3} + \frac{{17}}{6} = \frac{{61}}{6}\)