Logo
  1. Trang Chủ
  2. Tài Liệu Học Tập
  3. Lý thuyết Hệ trục tọa độ trong không gian Toán 12 Kết nối tri thức
SGK Toán 12 - Kết nối tri thức
Giải Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Chương 2. Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian
Bài 7. Hệ trục tọa độ trong không gian

Lý thuyết Hệ trục tọa độ trong không gian Toán 12 Kết nối tri thức

Lý thuyết Hệ trục tọa độ trong không gian Toán 12 Kết nối tri thức

Hệ trục tọa độ trong không gian là nền tảng quan trọng của hình học không gian lớp 12.

Nắm vững lý thuyết này giúp học sinh giải quyết các bài toán liên quan đến tọa độ điểm, vector, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian một cách hiệu quả.

Tusach.vn cung cấp tài liệu học tập đầy đủ, chi tiết và dễ hiểu về chủ đề này.

1. Hệ trục tọa độ trong không gian

1. Hệ trục tọa độ trong không gian

Trong không gian, ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau tại gốc O của mỗi trục. Gọi \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \) lần lượt là các vecto đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz

- Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxyz, hay đơn giản là hệ tọa độ Oxyz

- Điểm O được gọi là gốc tọa độ

- Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Oxz) đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ

Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz

2. Tọa độ của điểm, tọa độ của vecto trong không gian

Tọa độ của điểm

Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Bộ ba số (x;y;z) duy nhất sao cho \(\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết M = (x,y,z), trong đó x là hoành độ, y là tung độ và z là cao độ của M

Tọa độ của vecto

Trong không gian Oxyz, cho vecto \(\overrightarrow a \) tùy ý. Bộ ba số (x;y;z) duy nhất sao cho \(\overrightarrow a = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) được gọi là tọa độ của vecto \(\overrightarrow a \) đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết \(\overrightarrow a \) = (x,y,z) hoặc \(\overrightarrow a \) (x,y,z)

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(M({x_M};{y_M};{z_M})\) và \(N({x_N};{y_N};{z_N})\). Khi đó:

\(\overrightarrow {MN} = ({x_N} - {x_M};{y_N} - {y_M};{z_N} - {z_M})\)

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C có A(1;0;2), B(3;2;5), C(7;-3;9)

a) Tìm tọa độ của \(\overrightarrow {AA'} \)

b) Tìm tọa độ của các điểm B’, C’

Lời giải

a) Ta có: \(\overrightarrow {AA'} = ({x_{A'}} - {x_A};{y_{A'}} - {y_A};{z_{A'}} - {z_A}) = (4;0; - 1)\)

b) Gọi tọa độ của điểm B’ là (x,y,z) thì \(\overrightarrow {BB'} \) = (x-3;y-2;z-5). Vì ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ nên ABB’A’ là hình bình hành, suy ra \(\overrightarrow {AA'} \) = \(\overrightarrow {BB'} \)

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 = 4\\y - 2 = 0\\z - 5 = - 1\end{array} \right.\) hay x = 7, y = 2, z = 4. Vậy B’(7;2;4)

Lập luận tương tự suy ra C’(11;-3;8)

Lý thuyết Hệ trục tọa độ trong không gian Toán 12 Kết nối tri thức 1

Lý Thuyết Hệ Trục Tọa Độ Trong Không Gian Toán 12 - Kết Nối Tri Thức

Hệ trục tọa độ trong không gian là một công cụ quan trọng trong hình học không gian, cho phép chúng ta biểu diễn vị trí của các điểm và các đối tượng hình học bằng các số. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn tổng quan về lý thuyết hệ trục tọa độ trong không gian, bao gồm các khái niệm cơ bản, các công thức quan trọng và các ứng dụng thực tế.

1. Khái Niệm Cơ Bản

Hệ trục tọa độ trong không gian Oxyz là tập hợp ba đường thẳng vuông góc với nhau tại một điểm gốc O, được gọi là các trục tọa độ Ox, Oy và Oz. Mỗi điểm trong không gian có thể được xác định duy nhất bởi bộ ba số thực (x, y, z), được gọi là tọa độ của điểm đó.

  • Điểm gốc O: Giao điểm của ba trục tọa độ.
  • Trục Ox, Oy, Oz: Các đường thẳng vuông góc với nhau tại O.
  • Mặt phẳng tọa độ: Mặt phẳng chứa hai trục tọa độ. (Mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Oxz))

2. Tọa Độ Của Điểm, Vector

a. Tọa độ của điểm: Điểm M trong không gian có tọa độ M(x, y, z). x, y, z là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy, Oz.

b. Tọa độ của vector: Vector a = MN có tọa độ a = (xN - xM, yN - yM, zN - zM).

3. Các Phép Toán Vector Trong Không Gian

a. Phép cộng vector:a + b = (xa + xb, ya + yb, za + zb)

b. Phép trừ vector:a - b = (xa - xb, ya - yb, za - zb)

c. Phép nhân vector với một số thực: ka = (kxa, kya, kza)

4. Tích Vô Hướng Và Tích Có Hướng

a. Tích vô hướng:a.b = xaxb + yayb + zazb. Ứng dụng: Tính góc giữa hai vector, kiểm tra tính vuông góc.

b. Tích có hướng:a x b = (yazb - zayb, zaxb - xazb, xayb - yaxb). Ứng dụng: Tìm vector vuông góc với hai vector, tính diện tích hình bình hành.

5. Phương Trình Đường Thẳng Trong Không Gian

Có nhiều dạng phương trình đường thẳng trong không gian:

  • Phương trình tham số: x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct
  • Phương trình chính tắc: (x - x0)/a = (y - y0)/b = (z - z0)/c

Trong đó (x0, y0, z0) là tọa độ một điểm thuộc đường thẳng và (a, b, c) là vector chỉ phương của đường thẳng.

6. Phương Trình Mặt Phẳng Trong Không Gian

Phương trình mặt phẳng có dạng: Ax + By + Cz + D = 0. Trong đó (A, B, C) là vector pháp tuyến của mặt phẳng.

7. Bài Tập Áp Dụng

Để nắm vững lý thuyết, bạn nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Tusach.vn cung cấp một kho bài tập phong phú và đa dạng về hệ trục tọa độ trong không gian, giúp bạn củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về lý thuyết hệ trục tọa độ trong không gian Toán 12 Kết nối tri thức. Chúc bạn học tập tốt!

Tải sách PDF tại TuSach.vn mang đến trải nghiệm tiện lợi và nhanh chóng cho người yêu sách. Với kho sách đa dạng từ sách văn học, sách kinh tế, đến sách học ngoại ngữ, bạn có thể dễ dàng tìm và tải sách miễn phí với chất lượng cao. TuSach.vn cung cấp định dạng sách PDF rõ nét, tương thích nhiều thiết bị, giúp bạn tiếp cận tri thức mọi lúc, mọi nơi. Hãy khám phá kho sách phong phú ngay hôm nay!

CHỦ ĐỀ SÁCH XEM NHIỀU

Sách kỹ năng sống, Sách nuôi dạy con, Sách tiểu sử hồi ký, Sách nữ công gia chánh, Sách học tiếng hàn, Sách thiếu nhi, tài liệu học tập

VỀ TUSACH.VN