Lý Thuyết Biểu Thức Tọa Độ Vectơ Toán 12 Kết Nối Tri Thức

Lý thuyết Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto Toán 12 Kết nối tri thức

Lý thuyết Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ Toán 12 Kết Nối Tri Thức

Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ là một phần quan trọng trong chương trình Toán 12 Kết Nối Tri Thức. Nắm vững kiến thức này giúp học sinh giải quyết các bài toán liên quan đến vectơ một cách hiệu quả và chính xác.

Bài viết này sẽ cung cấp một cách đầy đủ và dễ hiểu về lý thuyết, công thức và các ví dụ minh họa về biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ.

1. Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vecto, phép trừ hai vecto, phép nhân một số với một vecto

1. Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vecto, phép trừ hai vecto, phép nhân một số với một vecto

Các phép toán vecto cơ bản

Trong không gian Oxyz, cho hai vecto \(\overrightarrow a = (x;y;z)\) và \(\overrightarrow b = (x';y';z')\). Ta có:

\(\overrightarrow a + \overrightarrow b = (x + x';y + y';z + z')\)

\(\overrightarrow a - \overrightarrow b = (x - x';y - y';z - z')\)

\(k\overrightarrow a = (kx;ky;kz)\) với k là một số thực

Công thức tính tọa độ trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng \(A({x_A};{y_A};{z_A}),B({x_B};{y_B};{z_B}),C({x_C};{y_C};{z_C})\). Khi đó:

Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là \[\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\]

Tọa độ trọng tâm tam giác ABC là \[\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\]

2. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vecto \(\overrightarrow a = (x;y;z)\) và \(\overrightarrow b = (x';y';z')\) được xác định bởi công thức \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = xx' + yy' + zz'\)

3. Vận dụng tọa độ của vecto trong một số bài toán có liên quan đến thực tiễn

Ví dụ: Trong không gian với một hệ trục cho trước (đơn vị đo km), ra đa phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm A(800;500;7) đến điểm B (940;550;8) trong 10 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là gì?

Giải:

Gọi C(x;y;z) là vị trí của máy bay sau 5 phút tiếp theo. Vì hướng của máy bay không đổi nên \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC} \) cùng hướng. Do vận tốc bay không đổi và thời gian bay từ A đến B gấp đôi thời gian bay từ B đến C nên AB = 2BC.

Do đó, \(\overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \left( {\frac{{940 - 800}}{2};\frac{{550 - 500}}{2};\frac{{8 - 7}}{2}} \right) = \left( {70;25;0,5} \right)\).

Mặt khác, \(\overrightarrow {BC} = (x - 940;y - 550;z - 8)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x - 940 = 70\\y - 550 = 25\\z - 8 = 0,5\end{array} \right.\).

Từ đó \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1010\\y = 575\\z = 8,5\end{array} \right.\) và vì vậy C(1010;575;8,5).

Vậy tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là (1010;575;8,5).

Lý thuyết Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto Toán 12 Kết nối tri thức 1

Lý Thuyết Biểu Thức Tọa Độ Của Các Phép Toán Vectơ Toán 12 Kết Nối Tri Thức

Trong chương trình Toán 12 Kết Nối Tri Thức, kiến thức về vectơ đóng vai trò then chốt, đặc biệt là biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ. Việc hiểu rõ lý thuyết này không chỉ giúp học sinh giải quyết các bài toán trong sách giáo khoa mà còn là nền tảng vững chắc cho các kiến thức nâng cao hơn trong toán học và các môn khoa học khác.

1. Khái niệm cơ bản về vectơ và tọa độ vectơ

Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Trong mặt phẳng tọa độ, một vectơ được xác định bởi tọa độ của điểm đầu và điểm cuối. Nếu A(x_A, y_A) và B(x_B, y_B) là hai điểm trong mặt phẳng, thì vectơ AB có tọa độ là (x_B - x_A, y_B - y_A).

2. Các phép toán vectơ và biểu thức tọa độ

Các phép toán cơ bản trên vectơ bao gồm:

Phép cộng vectơ: Cho hai vectơ a = (x₁, y₁) và b = (x₂, y₂), thì a + b = (x₁ + x₂, y₁ + y₂).
Phép trừ vectơ: Cho hai vectơ a = (x₁, y₁) và b = (x₂, y₂), thì a - b = (x₁ - x₂, y₁ - y₂).
Phép nhân vectơ với một số thực: Cho vectơ a = (x, y) và số thực k, thì ka = (kx, ky).

3. Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Tích vô hướng của hai vectơ a = (x₁, y₁) và b = (x₂, y₂) được tính bằng công thức: a . b = x₁x₂ + y₁y₂.

Ứng dụng của tích vô hướng:

Tính góc giữa hai vectơ.
Kiểm tra tính vuông góc của hai vectơ (nếu a . b = 0 thì a vuông góc với b).
Tính độ dài của vectơ.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho a = (2, 3) và b = (-1, 4). Tính a + b và a - b.

Giải:

a + b = (2 + (-1), 3 + 4) = (1, 7)

a - b = (2 - (-1), 3 - 4) = (3, -1)

Ví dụ 2: Cho a = (1, 2) và b = (3, -1). Tính tích vô hướng a . b.

Giải:

a . b = (1)(3) + (2)(-1) = 3 - 2 = 1

5. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, bạn có thể tự giải các bài tập sau:

Cho a = (4, -2) và b = (0, 5). Tính 2a - b.
Cho a = (-1, 3) và b = (2, -1). Tính a . b và suy ra góc giữa hai vectơ.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về lý thuyết biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ Toán 12 Kết Nối Tri Thức. Chúc bạn học tập tốt!