Bài 19. Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Chào mừng các bạn đến với bài học số 19 trong chương trình Toán học của tusach.vn. Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về hai công thức vô cùng quan trọng trong lý thuyết xác suất: công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Đây là những công cụ không thể thiếu để giải quyết các bài toán xác suất phức tạp, đặc biệt là trong các lĩnh vực như thống kê, khoa học dữ liệu và kỹ thuật.

1. Công thức xác suất toàn phần

Định nghĩa: Giả sử A là một biến cố. Ta gọi {B₁, B₂, ..., B_n} là một hệ đầy đủ các biến cố đối với A nếu:

• Các biến cố B_i đôi một xung khắc (B_i ∩ B_j = ∅ với mọi i ≠ j).
• A ⊆ ∪_i=1ⁿ B_i (A xảy ra khi và chỉ khi ít nhất một trong các biến cố B_i xảy ra).

Khi đó, công thức xác suất toàn phần cho phép tính xác suất của A như sau:

P(A) = P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) + ... + P(A|B_n)P(B_n) = ∑_i=1ⁿ P(A|B_i)P(B_i)

Ví dụ: Một nhà máy có hai dây chuyền sản xuất. Dây chuyền 1 sản xuất 60% tổng số sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi là 2%. Dây chuyền 2 sản xuất 40% tổng số sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi là 5%. Tính xác suất một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên là sản phẩm lỗi.

Giải:

• A: Sản phẩm được chọn là sản phẩm lỗi.
• B₁: Sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền 1.
• B₂: Sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền 2.

Ta có:

• P(B₁) = 0.6
• P(B₂) = 0.4
• P(A|B₁) = 0.02
• P(A|B₂) = 0.05

Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

P(A) = P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) = 0.02 * 0.6 + 0.05 * 0.4 = 0.012 + 0.02 = 0.032

Vậy, xác suất một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên là sản phẩm lỗi là 3.2%.

2. Công thức Bayes

Định nghĩa: Công thức Bayes cho phép tính xác suất có điều kiện của một biến cố khi biết thông tin về một biến cố khác. Công thức được phát biểu như sau:

P(B_i|A) = [P(A|B_i)P(B_i)] / P(A)

Trong đó:

• P(B_i|A): Xác suất của biến cố B_i khi biết biến cố A đã xảy ra (xác suất hậu nghiệm).
• P(A|B_i): Xác suất của biến cố A khi biết biến cố B_i đã xảy ra (khả năng).
• P(B_i): Xác suất của biến cố B_i (xác suất tiên nghiệm).
• P(A): Xác suất của biến cố A (bằng chứng).

Ví dụ: Tiếp tục ví dụ trên, giả sử một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên là sản phẩm lỗi. Tính xác suất sản phẩm đó được sản xuất từ dây chuyền 2.

Giải:

• A: Sản phẩm được chọn là sản phẩm lỗi.
• B₂: Sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền 2.

Ta đã tính được P(A) = 0.032 ở ví dụ trước. Ta có:

• P(A|B₂) = 0.05
• P(B₂) = 0.4

Áp dụng công thức Bayes:

P(B₂|A) = [P(A|B₂)P(B₂)] / P(A) = (0.05 * 0.4) / 0.032 = 0.02 / 0.032 = 0.625

Vậy, xác suất sản phẩm lỗi được sản xuất từ dây chuyền 2 là 62.5%.

3. Ứng dụng của công thức xác suất toàn phần và Bayes

Hai công thức này có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

• Y học: Chẩn đoán bệnh dựa trên kết quả xét nghiệm.
• Thống kê: Ước lượng tham số và kiểm định giả thuyết.
• Khoa học dữ liệu: Xây dựng mô hình phân loại và dự đoán.
• Kỹ thuật: Đánh giá độ tin cậy của hệ thống.

Hy vọng bài học này đã giúp các bạn hiểu rõ hơn về công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Hãy luyện tập thêm các bài tập để nắm vững kiến thức này nhé!