Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Bài 3: Đường Tiệm Cận của Đồ Thị Hàm Số

Đường tiệm cận là một khái niệm quan trọng trong việc nghiên cứu đồ thị hàm số. Hiểu rõ về đường tiệm cận giúp chúng ta phác thảo chính xác hình dạng của đồ thị và dự đoán hành vi của hàm số khi x tiến tới vô cùng hoặc một giá trị cụ thể.

1. Khái niệm đường tiệm cận

Đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = f(x) là đường thẳng mà đồ thị của hàm số tiến gần đến khi x hoặc y tiến tới vô cùng.

2. Các loại đường tiệm cận

• Tiệm cận đứng: Đường thẳng x = a là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu lim_x→a⁺ f(x) = ±∞ hoặc lim_x→a^- f(x) = ±∞.
• Tiệm cận ngang: Đường thẳng y = b là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu lim_x→+∞ f(x) = b hoặc lim_x→-∞ f(x) = b.
• Tiệm cận xiên: Đường thẳng y = ax + b (với a ≠ 0) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu lim_x→+∞ [f(x) - (ax + b)] = 0 hoặc lim_x→-∞ [f(x) - (ax + b)] = 0.

3. Cách xác định đường tiệm cận

Để xác định đường tiệm cận, ta cần thực hiện các bước sau:

1. Xác định tiệm cận đứng: Tìm các giá trị x mà hàm số không xác định (ví dụ: mẫu số bằng 0). Kiểm tra giới hạn của hàm số tại các giá trị này.
2. Xác định tiệm cận ngang: Tính giới hạn của hàm số khi x tiến tới vô cùng và âm vô cùng.
3. Xác định tiệm cận xiên: Tính a = lim_x→∞ f(x)/x và b = lim_x→∞ [f(x) - ax]. Nếu a ≠ 0, thì y = ax + b là tiệm cận xiên.

4. Ví dụ minh họa

Xét hàm số y = (2x + 1) / (x - 1).

• Tiệm cận đứng: x = 1 (vì mẫu số bằng 0 khi x = 1).
• Tiệm cận ngang: y = 2 (vì lim_x→∞ (2x + 1) / (x - 1) = 2).
• Tiệm cận xiên: Không có (vì không tồn tại giới hạn a).

5. Bài tập luyện tập

Hãy xác định đường tiệm cận của các hàm số sau:

• y = (x + 2) / (x - 3)
• y = (3x² + 1) / (x² - 4)
• y = (x³) / (x² + 1)

6. Ứng dụng của đường tiệm cận

Đường tiệm cận có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:

• Vẽ đồ thị hàm số: Đường tiệm cận giúp chúng ta phác thảo chính xác hình dạng của đồ thị.
• Phân tích hành vi của hàm số: Đường tiệm cận cho biết hàm số sẽ tiến gần đến giá trị nào khi x tiến tới vô cùng hoặc một giá trị cụ thể.
• Giải các bài toán thực tế: Đường tiệm cận có thể được sử dụng để mô hình hóa các hiện tượng thực tế, ví dụ như sự tăng trưởng dân số hoặc sự phân rã của một chất phóng xạ.

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức và áp dụng vào giải quyết các bài toán thực tế.