Bài học này thuộc chương trình Toán 12, tập trung vào việc nghiên cứu sự thay đổi của hàm số (tính đơn điệu) và các điểm đặc biệt nơi hàm số đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất cục bộ (cực trị).
Nắm vững kiến thức về tính đơn điệu và cực trị là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán tối ưu hóa và phân tích hàm số trong nhiều lĩnh vực khác nhau.
Chào mừng các bạn đến với bài học đầu tiên trong chương về ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Bài học hôm nay sẽ đi sâu vào việc tìm hiểu về tính đơn điệu và cực trị của hàm số. Đây là một trong những nội dung quan trọng nhất của chương trình Toán 12, giúp các bạn hiểu rõ hơn về sự biến thiên của hàm số và ứng dụng vào giải quyết các bài toán thực tế.
I. Khái niệm về tính đơn điệu của hàm số
Một hàm số được gọi là đồng biến trên một khoảng nếu giá trị của hàm số tăng lên khi biến số tăng lên. Ngược lại, một hàm số được gọi là nghịch biến trên một khoảng nếu giá trị của hàm số giảm xuống khi biến số tăng lên.
Để xác định tính đơn điệu của hàm số, chúng ta sử dụng đạo hàm của hàm số:
Nếu f'(x) > 0 trên một khoảng, hàm số đồng biến trên khoảng đó.
Nếu f'(x) < 0 trên một khoảng, hàm số nghịch biến trên khoảng đó.
Nếu f'(x) = 0 trên một khoảng, hàm số không đơn điệu trên khoảng đó.
II. Khái niệm về cực trị của hàm số
Một điểm x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở chứa x0 sao cho f(x0) > f(x) với mọi x thuộc khoảng đó.
Một điểm x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở chứa x0 sao cho f(x0) < f(x) với mọi x thuộc khoảng đó.
Để tìm cực trị của hàm số, chúng ta thực hiện các bước sau:
Tính đạo hàm f'(x).
Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm nghiệm.
Xét dấu của f'(x) trên các khoảng xác định bởi các điểm nghiệm.
Kết luận về cực đại, cực tiểu dựa vào dấu của f'(x).
III. Ví dụ minh họa
Xét hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2.
1. Tính đạo hàm: f'(x) = 3x2 - 6x.
2. Giải phương trình f'(x) = 0: 3x2 - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2.
3. Xét dấu của f'(x):
Khoảng
f'(x)
Kết luận
(-∞; 0)
+
Hàm số đồng biến
(0; 2)
-
Hàm số nghịch biến
(2; +∞)
+
Hàm số đồng biến
4. Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại x = 0 với giá trị f(0) = 2 và đạt cực tiểu tại x = 2 với giá trị f(2) = -2.
IV. Bài tập luyện tập
Để củng cố kiến thức, các bạn hãy làm các bài tập sau:
Bài 1: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số f(x) = x2 - 4x + 3.
Bài 2: Tìm cực đại, cực tiểu của hàm số f(x) = x3 + 3x2 - 9x + 5.
Hy vọng bài học này đã giúp các bạn hiểu rõ hơn về tính đơn điệu và cực trị của hàm số. Chúc các bạn học tốt!
Tải sách PDF tại TuSach.vn mang đến trải nghiệm tiện lợi và nhanh chóng cho người yêu sách. Với kho sách đa dạng từ sách văn học, sách kinh tế, đến sách học ngoại ngữ, bạn có thể dễ dàng tìm và tải sách miễn phí với chất lượng cao. TuSach.vn cung cấp định dạng sách PDF rõ nét, tương thích nhiều thiết bị, giúp bạn tiếp cận tri thức mọi lúc, mọi nơi. Hãy khám phá kho sách phong phú ngay hôm nay!
