Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - Tổng quan

Chương 1 trong chương trình Toán 12 tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để phân tích và vẽ đồ thị hàm số. Đây là một phần kiến thức then chốt, không chỉ quan trọng cho kỳ thi THPT Quốc gia mà còn là nền tảng cho các môn học liên quan đến toán học ở bậc đại học.

1. Các khái niệm cơ bản

• Đạo hàm: Tốc độ thay đổi tức thời của hàm số tại một điểm.
• Cực trị của hàm số: Điểm mà hàm số đạt giá trị lớn nhất (cực đại) hoặc nhỏ nhất (cực tiểu) trong một khoảng nào đó.
• Điểm uốn: Điểm mà đồ thị hàm số thay đổi từ lồi sang lõm hoặc ngược lại.
• Khoảng đơn điệu: Khoảng mà hàm số luôn tăng hoặc luôn giảm.

2. Phương pháp khảo sát hàm số bằng đạo hàm

1. Xác định tập xác định của hàm số.
2. Tính đạo hàm cấp nhất (f'(x)).
3. Tìm các điểm tới hạn: Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
4. Xác định khoảng đơn điệu: Xét dấu f'(x) trên các khoảng xác định để xác định khoảng hàm số tăng, giảm.
5. Tìm cực trị: Sử dụng dấu của f'(x) để xác định cực đại, cực tiểu.
6. Tính đạo hàm cấp hai (f''(x)).
7. Tìm điểm uốn: Giải phương trình f''(x) = 0 để tìm các điểm uốn.
8. Xác định khoảng lồi, lõm: Xét dấu f''(x) để xác định khoảng hàm số lồi, lõm.
9. Vẽ đồ thị hàm số: Dựa trên các thông tin đã thu thập để vẽ đồ thị hàm số.

3. Ứng dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế

Ngoài việc khảo sát và vẽ đồ thị, đạo hàm còn được ứng dụng để giải quyết nhiều bài toán thực tế như:

• Bài toán tối ưu hóa: Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một hàm số trong một khoảng cho trước.
• Bài toán liên quan đến tốc độ thay đổi: Xác định tốc độ thay đổi của một đại lượng theo thời gian.

4. Ví dụ minh họa

Xét hàm số y = x³ - 3x² + 2.

Bước 1: Tập xác định: D = R.

Bước 2: Đạo hàm cấp nhất: y' = 3x² - 6x.

Bước 3: Giải phương trình y' = 0: 3x² - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2.

Bước 4: Xét dấu y':

Bước 5: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là y(0) = 2. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là y(2) = -2.

Bước 6: Đạo hàm cấp hai: y'' = 6x - 6.

Bước 7: Giải phương trình y'' = 0: 6x - 6 = 0 => x = 1.

Bước 8: Điểm uốn: x = 1, y(1) = 0.

5. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, bạn nên luyện tập thường xuyên với các bài tập khác nhau. tusach.vn cung cấp một hệ thống bài tập đa dạng, từ cơ bản đến nâng cao, giúp bạn củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.

Chúc bạn học tập tốt!