Bài 14. Phương trình mặt phẳng - Tổng quan và lý thuyết
Trong không gian Oxyz, một mặt phẳng được xác định duy nhất bởi một điểm thuộc mặt phẳng và một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Bài 14 tập trung vào việc biểu diễn mặt phẳng bằng phương trình, giúp chúng ta dễ dàng nghiên cứu và giải quyết các bài toán liên quan.
1. Vectơ pháp tuyến và phương trình tổng quát của mặt phẳng
Một vectơ n được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng nếu n vuông góc với mọi vectơ nằm trong mặt phẳng. Nếu M(x0, y0, z0) là một điểm thuộc mặt phẳng và n = (a, b, c) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng, thì phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Hoặc có thể viết dưới dạng:
ax + by + cz + d = 0, trong đó d = -ax0 - by0 - cz0
2. Phương trình tham số của mặt phẳng
Nếu M(x0, y0, z0) là một điểm thuộc mặt phẳng và u = (u1, u2, u3) và v = (v1, v2, v3) là hai vectơ không cùng phương nằm trong mặt phẳng, thì phương trình tham số của mặt phẳng có dạng:
- x = x0 + tu1 + sv1
- y = y0 + tu2 + sv2
- z = z0 + tu3 + sv3
Trong đó t và s là các tham số thực.
3. Các dạng đặc biệt của phương trình mặt phẳng
Có một số trường hợp đặc biệt của phương trình mặt phẳng cần lưu ý:
- Mặt phẳng song song với trục Ox: Phương trình có dạng by + cz + d = 0
- Mặt phẳng song song với trục Oy: Phương trình có dạng ax + cz + d = 0
- Mặt phẳng song song với trục Oz: Phương trình có dạng ax + by + d = 0
- Mặt phẳng song song với mặt phẳng Oxy: Phương trình có dạng z + d = 0
- Mặt phẳng song song với mặt phẳng Oxz: Phương trình có dạng y + d = 0
- Mặt phẳng song song với mặt phẳng Oyz: Phương trình có dạng x + d = 0
4. Bài tập ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1, 2, 3) và có vectơ pháp tuyến n = (4, -5, 6).
Giải: Áp dụng công thức phương trình tổng quát của mặt phẳng, ta có:
4(x - 1) - 5(y - 2) + 6(z - 3) = 0
⇔ 4x - 4 - 5y + 10 + 6z - 18 = 0
⇔ 4x - 5y + 6z - 12 = 0
Ví dụ 2: Viết phương trình tham số của mặt phẳng đi qua các điểm A(1, 0, 0), B(0, 1, 0) và C(0, 0, 1).
Giải: Ta có vectơ AB = (-1, 1, 0) và AC = (-1, 0, 1). Chọn A(1, 0, 0) làm điểm thuộc mặt phẳng. Vậy phương trình tham số của mặt phẳng là:
5. Luyện tập và củng cố kiến thức
Để nắm vững kiến thức về phương trình mặt phẳng, bạn nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Tusach.vn cung cấp một hệ thống bài tập đa dạng, từ cơ bản đến nâng cao, giúp bạn củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán. Hãy truy cập tusach.vn để bắt đầu luyện tập ngay hôm nay!
