Bài 5. Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Bài 5: Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Chào mừng các bạn đến với Bài 5 của chương trình Giải tích lớp 12 trên tusach.vn! Trong bài học này, chúng ta sẽ đi sâu vào việc ứng dụng đạo hàm – một công cụ mạnh mẽ trong toán học – để giải quyết các bài toán thực tế. Đây là bước quan trọng để bạn hiểu rõ hơn về tính ứng dụng của toán học trong cuộc sống và các ngành nghề khác.

1. Tại sao cần ứng dụng đạo hàm vào thực tế?

Đạo hàm không chỉ là một khái niệm trừu tượng trong toán học. Nó có khả năng mô tả tốc độ thay đổi của một đại lượng, và điều này vô cùng quan trọng trong việc giải quyết các bài toán tối ưu hóa. Ví dụ:

• Kinh tế: Tìm điểm sản xuất tối ưu để đạt lợi nhuận cao nhất.
• Kỹ thuật: Thiết kế các cấu trúc chịu lực tối ưu, giảm thiểu vật liệu sử dụng.
• Vật lý: Tính vận tốc, gia tốc của vật thể chuyển động.

2. Các bài toán ứng dụng đạo hàm thường gặp

Có rất nhiều loại bài toán ứng dụng đạo hàm, nhưng chúng ta sẽ tập trung vào một số dạng phổ biến sau:

1. Bài toán tối ưu hóa: Tìm giá trị lớn nhất (max) hoặc nhỏ nhất (min) của một hàm số trên một khoảng cho trước.
2. Bài toán tìm khoảng đơn điệu: Xác định khoảng mà hàm số tăng hoặc giảm.
3. Bài toán tìm cực trị: Xác định điểm cực đại và cực tiểu của hàm số.

3. Phương pháp giải bài toán ứng dụng đạo hàm

Để giải quyết các bài toán ứng dụng đạo hàm, chúng ta thường thực hiện các bước sau:

1. Xây dựng hàm số: Biểu diễn đại lượng cần tìm dưới dạng một hàm số f(x).
2. Tìm tập xác định: Xác định khoảng giá trị của x mà hàm số có nghĩa.
3. Tính đạo hàm: Tính đạo hàm f'(x) của hàm số.
4. Tìm điểm cực trị: Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm cực trị.
5. Kiểm tra điều kiện: Kiểm tra xem các điểm cực trị có thỏa mãn điều kiện của bài toán hay không.
6. Kết luận: Đưa ra kết quả cuối cùng.

4. Ví dụ minh họa

Bài toán: Một người nông dân muốn rào một khu vườn hình chữ nhật có diện tích 100m². Hỏi người đó cần sử dụng bao nhiêu mét hàng rào để rào khu vườn với chi phí thấp nhất?

Giải:

Gọi x và y là chiều dài và chiều rộng của khu vườn. Ta có:

• Diện tích: xy = 100
• Chu vi (chi phí hàng rào): P = 2(x + y)

Từ xy = 100, ta có y = 100/x. Thay vào P, ta được:

P(x) = 2(x + 100/x)

Tính đạo hàm: P'(x) = 2(1 - 100/x²)

Giải phương trình P'(x) = 0, ta được x = 10 (chỉ xét nghiệm dương).

Khi x = 10, y = 10. Vậy khu vườn có hình vuông với cạnh 10m.

Chu vi tối thiểu: P = 2(10 + 10) = 40m.

5. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về ứng dụng đạo hàm, các bạn nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Các bạn có thể tìm thấy các bài tập tương tự trên tusach.vn hoặc trong sách giáo khoa.

Hy vọng bài học này đã giúp các bạn hiểu rõ hơn về ứng dụng đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán thực tế. Chúc các bạn học tốt!