Bài 17. Phương trình mặt cầu - Tổng quan và Lý thuyết
Trong chương trình Hình học không gian, phương trình mặt cầu là một chủ đề quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi. Hiểu rõ về phương trình mặt cầu không chỉ giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan mà còn là nền tảng cho việc học các kiến thức nâng cao hơn.
1. Định nghĩa mặt cầu
Mặt cầu là tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách một điểm cố định (gọi là tâm) một khoảng không đổi (gọi là bán kính).
2. Phương trình chính tắc của mặt cầu
Trong hệ tọa độ Oxyz, phương trình chính tắc của mặt cầu có tâm I(a; b; c) và bán kính R được viết như sau:
(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R²
Trong đó:
- (x; y; z) là tọa độ của một điểm bất kỳ trên mặt cầu.
- a, b, c là tọa độ của tâm mặt cầu.
- R là bán kính của mặt cầu.
3. Phương trình tổng quát của mặt cầu
Phương trình tổng quát của mặt cầu có dạng:
x² + y² + z² - 2ax - 2by - 2cz + d = 0
Với điều kiện: a² + b² + c² - d > 0
Khi đó, tâm của mặt cầu là I(a; b; c) và bán kính R được tính bởi:
R = √(a² + b² + c² - d)
4. Các dạng bài tập thường gặp
Các bài tập về phương trình mặt cầu thường xoay quanh các nội dung sau:
- Xác định tâm và bán kính của mặt cầu từ phương trình.
- Viết phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính.
- Xác định điều kiện để phương trình là phương trình của một mặt cầu.
- Tìm giao điểm của mặt cầu với các đường thẳng, mặt phẳng.
- Bài toán liên quan đến khoảng cách từ một điểm đến mặt cầu.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình (x - 1)² + (y + 2)² + (z - 3)² = 9
Giải: Từ phương trình, ta có: a = 1, b = -2, c = 3 và R² = 9 => R = 3. Vậy tâm của mặt cầu là I(1; -2; 3) và bán kính R = 3.
Ví dụ 2: Viết phương trình mặt cầu có tâm I(0; 0; 0) và bán kính R = 5.
Giải: Áp dụng phương trình chính tắc, ta có: x² + y² + z² = 25.
Bài tập tự luyện
Bài 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình x² + y² + z² - 4x + 2y - 6z + 5 = 0.
Bài 2: Viết phương trình mặt cầu có tâm I(2; -1; 3) và đi qua điểm A(1; 1; 1).
Bài 3: Tìm điều kiện của m để phương trình x² + y² + z² - 2mx + 4y + 6z + m² = 0 là phương trình của một mặt cầu.
Đáp án: (Sẽ được cung cấp sau khi bạn tự giải bài tập)
Lời khuyên khi học về phương trình mặt cầu
- Nắm vững định nghĩa và các công thức liên quan.
- Luyện tập thường xuyên với các bài tập đa dạng.
- Sử dụng hình vẽ để trực quan hóa bài toán.
- Kết hợp kiến thức về phương trình mặt cầu với các kiến thức khác trong Hình học không gian.
Chúc bạn học tốt và đạt kết quả cao trong các kỳ thi!
