Đề bài
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, với \(A\left( {1; - 1;3} \right),B\left( {0;2;4} \right),\)\(D\left( {2; - 1;1} \right),A'\left( {0;1;2} \right)\).
a) Tìm tọa độ các điểm C, B’, D’.
b) Viết phương trình mặt phẳng (CB’D’).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng để viết: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi ba điểm không thẳng hàng A, B, C có thể thực hiện theo các bước sau:
+ Tìm cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \)
+ Tìm vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\).
+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A và biết vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \).
Lời giải chi tiết
a) \(\overrightarrow {AB} \left( { - 1;3;1} \right),\overrightarrow {AA'} \left( { - 1;2; - 1} \right)\)
Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên
+) \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {A'B'} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} - {x_{A'}} = - 1\\{y_{B'}} - {y_{A'}} = 3\\{z_{B'}} - {z_{A'}} = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} = - 1 + {x_{A'}} = - 1 + 0 = - 1\\{y_{B'}} = 3 + {y_{A'}} = 3 + 1 = 4\\{z_{B'}} = 1 + {z_{A'}} = 1 + 2 = 3\end{array} \right. \Rightarrow B'\left( { - 1;4;3} \right)\)
+) \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {DD'} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{D'}} - {x_D} = - 1\\{y_{D'}} - {y_D} = 2\\{z_{D'}} - {z_D} = - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{D'}} = - 1 + {x_D} = 1\\{y_{D'}} = 2 + {y_D} = 1\\{z_{D'}} = - 1 + {z_D} = 0\end{array} \right. \Rightarrow D'\left( {1;1;0} \right)\)
+) \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 = {x_C} - {x_D}\\3 = {y_C} - {y_D}\\1 = {z_C} - {z_D}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = - 1 + {x_D} = - 1 + 2 = 1\\{y_C} = 3 + {y_D} = 3 - 1 = 2\\{z_C} = 1 + {z_D} = 1 + 1 = 2\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {1;2;2} \right)\)
b) Ta có: \(\overrightarrow {CD'} \left( {0; - 1; - 2} \right),\overrightarrow {CB'} \left( { - 2;2;1} \right)\)
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {CD'} ,\overrightarrow {CB'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{ - 2}\\2&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&0\\1&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 1}\\{ - 2}&2\end{array}} \right|} \right) = \left( {3;4; - 2} \right)\)
Mặt phẳng (CB’D’) đi qua điểm \(C\left( {1;2;2} \right)\) và nhận \(\left[ {\overrightarrow {CD'} ,\overrightarrow {CB'} } \right] = \left( {3;4; - 2} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến. Do đó, phương trình mặt phẳng (CB’D’) là:
\(3\left( {x - 1} \right) + 4\left( {y - 2} \right) - 2\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y - 2z - 7 = 0\)
