Giải bài tập 2.6 trang 58 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình chóp tứ giác S. ABCD. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành nếu và chỉ nếu \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} \). 

Lời giải chi tiết

Chứng minh: Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} \)

Gọi O là tâm hình bình hành ABCD. Khi đó, O là trung điểm của AC, BD.

Suy ra \(\overrightarrow {OC} = - \overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OD} = - \overrightarrow {OB} \)

Ta có: \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow {SO} + \left( {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OA} } \right) = 2\overrightarrow {SO} \)

\(\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = \overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OD} = 2\overrightarrow {SO} + \left( {\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OB} } \right) = 2\overrightarrow {SO} \)

Do đó, \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} \)

Chứng minh: Nếu \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} \) thì tứ giác ABCD là hình bình hành:

Ta có: \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} \Leftrightarrow \overrightarrow {SA} - \overrightarrow {SB} = \overrightarrow {SD} - \overrightarrow {SC} \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CD} \)

Suy ra, hai vectơ \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {CD} \) cùng hướng và có độ lớn bằng nhau.

Suy ra, \(AB = CD,\) AB//CD. Khi đó, tứ giác ABCD là hình bình hành.

Vậy tứ giác ABCD là hình bình hành nếu và chỉ nếu \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} \)