Bài 6. Vectơ trong không gian - Tổng quan và lý thuyết
Bài 6 trong chương trình Toán 12 là một phần quan trọng trong chương Hình học không gian, tập trung vào việc củng cố và mở rộng kiến thức về vectơ trong không gian ba chiều. Hiểu rõ về vectơ trong không gian là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán phức tạp liên quan đến hình học không gian, đặc biệt là các bài toán về quan hệ song song, vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
1. Khái niệm vectơ trong không gian
Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Nó được xác định bởi điểm gốc và điểm cuối. Vectơ được ký hiệu là AB, trong đó A là điểm gốc và B là điểm cuối. Vectơ có các đặc trưng quan trọng như độ dài (magnitude) và hướng.
2. Các phép toán vectơ trong không gian
- Phép cộng vectơ:AB + CD được thực hiện bằng quy tắc hình bình hành hoặc quy tắc tam giác.
- Phép trừ vectơ:AB - CD tương đương với AB + DC.
- Phép nhân vectơ với một số thực:k.AB làm thay đổi độ dài của vectơ theo hệ số k. Nếu k > 0, hướng của vectơ không đổi; nếu k < 0, hướng của vectơ ngược lại.
3. Tích vô hướng của hai vectơ
Tích vô hướng của hai vectơ a và b, ký hiệu là a.b, là một số thực được tính theo công thức:
a.b = |a| |b| cos(θ), trong đó θ là góc giữa hai vectơ.
Ứng dụng của tích vô hướng:
- Xác định góc giữa hai vectơ.
- Kiểm tra tính vuông góc của hai vectơ (a.b = 0).
- Tính độ dài hình chiếu của một vectơ lên một vectơ khác.
4. Tích có hướng của hai vectơ
Tích có hướng của hai vectơ a và b, ký hiệu là [a, b], là một vectơ có:
- Độ dài: |[a, b]| = |a| |b| sin(θ)
- Hướng: Vuông góc với cả hai vectơ a và b, tuân theo quy tắc bàn tay phải.
Ứng dụng của tích có hướng:
- Tính diện tích hình bình hành tạo bởi hai vectơ.
- Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa hai vectơ.
Bài tập minh họa và phương pháp giải
Ví dụ 1: Cho hai vectơ a = (1; 2; 3) và b = (-2; 1; 0). Tính tích vô hướng a.b.
Giải:a.b = (1)(-2) + (2)(1) + (3)(0) = -2 + 2 + 0 = 0. Vậy hai vectơ a và b vuông góc với nhau.
Ví dụ 2: Cho ba điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0) và C(0; 0; 1). Tính diện tích tam giác ABC.
Giải:AB = (-1; 1; 0) và AC = (-1; 0; 1). [AB, AC] = (1; 1; 1). Diện tích tam giác ABC là S = 1/2 |[AB, AC]| = 1/2 * √(1^2 + 1^2 + 1^2) = √3 / 2.
Luyện tập và củng cố kiến thức
Để nắm vững kiến thức về vectơ trong không gian, bạn nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. tusach.vn cung cấp một hệ thống bài tập đa dạng, từ cơ bản đến nâng cao, kèm theo đáp án chi tiết và lời giải thích rõ ràng. Hãy truy cập tusach.vn để luyện tập và kiểm tra kiến thức của bạn ngay hôm nay!
