Bài 13. Ứng dụng hình học của tích phân

Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân

Bài 13 trong chương trình giải tích là một bước tiến quan trọng trong việc ứng dụng tích phân vào giải quyết các bài toán thực tế, đặc biệt trong lĩnh vực hình học. Nội dung chính của bài học này tập trung vào việc sử dụng tích phân xác định để tính toán diện tích và thể tích của các hình phức tạp, mở rộng khả năng giải quyết các vấn đề mà các phương pháp hình học truyền thống gặp khó khăn.

1. Tính diện tích giữa hai đường cong

Để tính diện tích giữa hai đường cong f(x) và g(x) trên đoạn [a, b], với f(x) ≥ g(x) trên đoạn đó, ta sử dụng công thức:

Diện tích = ∫_a^b [f(x) - g(x)] dx

Ví dụ: Tính diện tích giới hạn bởi đường cong y = x² và y = 4x - x².

1. Tìm giao điểm của hai đường cong: x² = 4x - x² => 2x² - 4x = 0 => x(x-2) = 0 => x = 0 hoặc x = 2.
2. Xác định hàm nào lớn hơn trên đoạn [0, 2]: 4x - x² ≥ x² trên [0, 2].
3. Tính tích phân: ∫₀² [(4x - x²) - x²] dx = ∫₀² (4x - 2x²) dx = [2x² - (2/3)x³]₀² = 8 - 16/3 = 8/3.

2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng và đường cong

Tương tự như trên, ta xác định khoảng tích phân và hàm nào lớn hơn trên khoảng đó. Ví dụ, tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = sin(x) và trục Ox trên đoạn [0, π].

Diện tích = ∫₀^π sin(x) dx = [-cos(x)]₀^π = -cos(π) - (-cos(0)) = 1 + 1 = 2.

3. Tính thể tích vật thể tròn xoay

Có hai phương pháp chính để tính thể tích vật thể tròn xoay:

• Phương pháp đĩa (hoặc phương pháp lát cắt vuông góc trục quay): V = π ∫_a^b [f(x)]² dx, nếu quay quanh trục Ox.
• Phương pháp vỏ (hoặc phương pháp lát cắt song song trục quay): V = 2π ∫_a^b x * f(x) dx, nếu quay quanh trục Oy.

Ví dụ: Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay vùng giới hạn bởi y = x², x = 0 và x = 2 quanh trục Ox.

V = π ∫₀² (x²)² dx = π ∫₀² x⁴ dx = π [x⁵/5]₀² = π (32/5) = 32π/5.

4. Bài tập áp dụng

Để củng cố kiến thức, hãy thử giải các bài tập sau:

• Tính diện tích giới hạn bởi y = x³ và y = x.
• Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay vùng giới hạn bởi y = √x, x = 0 và x = 4 quanh trục Oy.

5. Tài liệu tham khảo

Để hiểu sâu hơn về ứng dụng hình học của tích phân, bạn có thể tham khảo các tài liệu sau:

• Sách giáo khoa Giải tích 12
• Các bài giảng trực tuyến trên tusach.vn
• Các trang web và diễn đàn toán học uy tín

Tusach.vn hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân. Chúc bạn học tập tốt!