Đề bài
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:a) \(y = \frac{{2{x^2} - x + 4}}{{x - 1}}\);b) \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x + 3}}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về sơ đồ khảo sát hàm số phân thức để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
Sơ đồ khảo sát hàm số phân thức
1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số:
+ Tính đạo hàm y’. Tìm các điểm tại đó y’ bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.
+ Xét dấu y’ để chỉ ra các khoảng đơn điệu của hàm số.
+ Tìm cực trị của hàm số.
+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận của đồ thị hàm số.
+ Lập bảng biến thiên của hàm số.
3. Vẽ đồ thị của hàm số dựa vào bảng biến thiên.
Lời giải chi tiết
a) 1. Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)
2. Sự biến thiên:
Ta có: \(y = \frac{{2{x^2} - x + 4}}{{x - 1}} = 2x + 1 + \frac{5}{{x - 1}}\)
\(y' = 2 - \frac{5}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}},y' = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{2 - \sqrt {10} }}{2}\) hoặc \(x = \frac{{2 + \sqrt {10} }}{2}\)
Trong khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{{2 - \sqrt {10} }}{2}} \right)\) và \(\left( {\frac{{2 + \sqrt {10} }}{2}; + \infty } \right)\), \(y' > 0\) nên hàm số đồng biến.
Trong khoảng \(\left( {\frac{{2 - \sqrt {10} }}{2};1} \right)\) và \(\left( {1;\frac{{2 + \sqrt {10} }}{2}} \right)\), \(y' < 0\) nên hàm số nghịch biến.
Hàm số đạt cực đại tại \(x = \frac{{2 - \sqrt {10} }}{2}\), giá trị cực đại .
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \frac{{2 + \sqrt {10} }}{2}\), giá trị cực đại \({y_{CT}} = 2\sqrt {10} + 3\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2{x^2} - x + 4}}{{x - 1}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2{x^2} - x + 4}}{{x - 1}} = - \infty \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2{x^2} - x + 4}}{{x - 1}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2{x^2} - x + 4}}{{x - 1}} = + \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( {2x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2x + 1 + \frac{5}{{x - 1}} - \left( {2x + 1} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{5}{{x - 1}} = 0\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - \left( {2x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2x + 1 + \frac{5}{{x - 1}} - \left( {2x + 1} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{5}{{x - 1}} = 0\)
Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x = 1\) làm tiệm cận đứng và đường thẳng \(y = 2x + 1\) làm tiệm cận xiên.
Bảng biến thiên:
3. Đồ thị:
Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0; -4).
Đồ thị hàm số không cắt trục Ox.
Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(1; 3) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.
b) \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x + 3}}\)
1. Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 3} \right\}\)
2. Sự biến thiên:
Ta có: \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x + 3}} = x - 1 + \frac{4}{{x + 3}}\)
\(y' = 1 - \frac{4}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}},y' = 0 \Leftrightarrow x = - 1\) hoặc \(x = - 5\).
Trong khoảng \(\left( { - \infty ; - 5} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\), \(y' > 0\) nên hàm số đồng biến.
Trong khoảng \(\left( { - 5; - 3} \right)\) và \(\left( { - 3; - 1} \right)\), \(y' < 0\) nên hàm số nghịch biến.
Hàm số đạt cực đại tại \(x = - 5\), giá trị cực đại .
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - 1\), giá trị cực tiểu \({y_{CT}} = 0\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x + 3}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x + 3}} = - \infty \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x + 3}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x + 3}} = + \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( {x - 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x - 1 + \frac{4}{{x + 3}} - \left( {x - 1} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{4}{{x + 3}} = 0\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - \left( {x - 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x - 1 + \frac{4}{{x + 3}} - \left( {x - 1} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{4}{{x + 3}} = 0\)
Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x = - 3\) làm tiệm cận đứng và đường thẳng \(y = x - 1\) làm tiệm cận xiên.
Bảng biến thiên:
3. Đồ thị:
Giao điểmcủa đồ thị hàm số với trục tung là \(\left( {0;\frac{1}{3}} \right)\).
\(y = 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x + 3}} = 0 \Leftrightarrow x = - 1\)
Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm \(\left( { - 1;0} \right)\).
Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I\left( { - 3; - 4} \right)\) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.
