Bài 16: Công thức tính góc trong không gian
Hình học không gian là một phần quan trọng của chương trình Toán học, đặc biệt là ở cấp THPT. Việc nắm vững các công thức và phương pháp tính góc trong không gian là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán phức tạp. Bài viết này sẽ cung cấp một hướng dẫn chi tiết và dễ hiểu về chủ đề này.
1. Các loại góc trong không gian
Trong không gian, có một số loại góc cơ bản cần nắm vững:
- Góc giữa hai đường thẳng: Là góc nhỏ hơn hoặc bằng 90° tạo bởi hai đường thẳng khi chúng cắt nhau.
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Là góc nhỏ nhất tạo bởi đường thẳng và hình chiếu của nó lên mặt phẳng đó.
- Góc giữa hai mặt phẳng: Là góc nhỏ nhất tạo bởi hai mặt phẳng khi chúng cắt nhau.
2. Công thức tính góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng d1 và d2 có vectơ chỉ phương lần lượt là u1 và u2. Góc θ giữa hai đường thẳng được tính theo công thức:
cos θ = |u1 ⋅ u2| / (||u1|| ⋅ ||u2||)
Trong đó:
- u1 ⋅ u2 là tích vô hướng của hai vectơ.
- ||u1|| và ||u2|| là độ dài của hai vectơ.
3. Công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương u và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n. Góc θ giữa đường thẳng và mặt phẳng được tính theo công thức:
sin θ = |u ⋅ n| / (||u|| ⋅ ||n||)
Lưu ý: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc nhọn, do đó, ta thường tính sin của góc.
4. Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng (P1) và (P2) có vectơ pháp tuyến lần lượt là n1 và n2. Góc θ giữa hai mặt phẳng được tính theo công thức:
cos θ = |n1 ⋅ n2| / (||n1|| ⋅ ||n2||)
5. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương u1 = (1; 2; -1) và d2 có vectơ chỉ phương u2 = (2; -1; 1). Tính góc giữa hai đường thẳng.
Giải:
u1 ⋅ u2 = 1*2 + 2*(-1) + (-1)*1 = 2 - 2 - 1 = -1
||u1|| = √(12 + 22 + (-1)2) = √6
||u2|| = √(22 + (-1)2 + 12) = √6
cos θ = |-1| / (√6 * √6) = 1/6
θ = arccos(1/6) ≈ 80.4°
6. Luyện tập
Để củng cố kiến thức, bạn có thể tự giải các bài tập sau:
- Bài 1: Tính góc giữa hai đường thẳng có vectơ chỉ phương cho trước.
- Bài 2: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng khi biết vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
- Bài 3: Tính góc giữa hai mặt phẳng khi biết vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về công thức tính góc trong không gian. Chúc bạn học tập tốt!
