Bài 15. Phương trình đường thẳng trong không gian

Bài 15: Phương trình đường thẳng trong không gian

Trong không gian Oxyz, đường thẳng là tập hợp các điểm thỏa mãn một điều kiện nhất định. Việc biểu diễn đường thẳng bằng phương trình là một công cụ quan trọng để giải quyết các bài toán hình học không gian. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về các dạng phương trình của đường thẳng, cách xác định đường thẳng và các ứng dụng của chúng.

1. Các dạng phương trình của đường thẳng trong không gian

Có hai dạng phương trình thường được sử dụng để biểu diễn đường thẳng trong không gian:

• Phương trình tham số: Đường thẳng đi qua điểm M₀(x₀; y₀; z₀) và có vectơ chỉ phương a = (a₁; a₂; a₃) có phương trình:

  x = x₀ + at

  y = y₀ + bt

  z = z₀ + ct

  Trong đó, t là tham số thực.

• Phương trình chính tắc: Đường thẳng đi qua điểm M₀(x₀; y₀; z₀) và có vectơ chỉ phương a = (a₁; a₂; a₃) có phương trình:

  (x - x₀) / a₁ = (y - y₀) / a₂ = (z - z₀) / a₃

2. Xác định đường thẳng trong không gian

Để xác định một đường thẳng trong không gian, ta cần:

• Một điểm thuộc đường thẳng.
• Một vectơ chỉ phương của đường thẳng.

Hoặc, ta có thể xác định đường thẳng bằng:

• Hai điểm phân biệt thuộc đường thẳng.
• Một điểm thuộc đường thẳng và một vectơ cùng phương với đường thẳng.

3. Mối quan hệ giữa hai đường thẳng trong không gian

Trong không gian, hai đường thẳng có thể có các mối quan hệ sau:

• Song song: Hai đường thẳng song song nếu chúng không có điểm chung và vectơ chỉ phương của chúng cùng phương.
• Cắt nhau: Hai đường thẳng cắt nhau nếu chúng có một điểm chung duy nhất.
• Chéo nhau: Hai đường thẳng chéo nhau nếu chúng không có điểm chung và không song song.

4. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương a = (4; 5; 6).

Giải:

Phương trình tham số: x = 1 + 4t; y = 2 + 5t; z = 3 + 6t

Phương trình chính tắc: (x - 1) / 4 = (y - 2) / 5 = (z - 3) / 6

Ví dụ 2: Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng:

d₁: x = 1 + t; y = 2 - t; z = 3 + 2t

d₂: x = 2 - s; y = 1 + s; z = 4 - s

(Bài tập này sẽ được giải chi tiết để minh họa cách xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng)

5. Ứng dụng của phương trình đường thẳng trong không gian

Phương trình đường thẳng trong không gian có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

• Giải các bài toán hình học không gian.
• Xây dựng mô hình 3D.
• Tính toán khoảng cách giữa các điểm và đường thẳng.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về phương trình đường thẳng trong không gian. Hãy luyện tập thêm các bài tập để nắm vững kiến thức này nhé!