Chương 6: Xác suất có điều kiện - Tổng quan
Xác suất có điều kiện là một khái niệm nền tảng trong lý thuyết xác suất, cho phép chúng ta tính toán khả năng xảy ra của một sự kiện dựa trên thông tin về việc một sự kiện khác đã xảy ra. Điều này khác với xác suất thông thường, vốn xem xét tất cả các kết quả có thể xảy ra một cách bình đẳng.
1. Định nghĩa và Công thức
Xác suất có điều kiện của sự kiện A khi biết sự kiện B đã xảy ra, ký hiệu là P(A|B), được định nghĩa là:
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
Trong đó:
- P(A|B): Xác suất của A khi biết B đã xảy ra.
- P(A ∩ B): Xác suất của cả A và B xảy ra.
- P(B): Xác suất của B xảy ra.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Rút ngẫu nhiên 2 quả bóng. Tính xác suất để quả bóng thứ hai là màu đỏ, biết rằng quả bóng thứ nhất là màu đỏ.
Giải:
Gọi A là sự kiện quả bóng thứ hai là màu đỏ, B là sự kiện quả bóng thứ nhất là màu đỏ.
P(A|B) = (Số cách chọn quả bóng thứ hai là đỏ sau khi đã chọn 1 quả đỏ) / (Tổng số cách chọn quả bóng thứ hai sau khi đã chọn 1 quả đỏ)
P(A|B) = 4/7
3. Biến cố độc lập
Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia. Điều này có nghĩa là:
P(A|B) = P(A) hoặc P(B|A) = P(B)
Và tương đương với:
P(A ∩ B) = P(A) * P(B)
4. Định lý Bayes
Định lý Bayes là một công cụ mạnh mẽ để cập nhật xác suất của một giả thuyết khi có thêm bằng chứng. Công thức của định lý Bayes là:
P(A|B) = [P(B|A) * P(A)] / P(B)
Trong đó:
- P(A|B): Xác suất hậu nghiệm của A khi biết B.
- P(B|A): Xác suất khả năng của B khi biết A.
- P(A): Xác suất tiên nghiệm của A.
- P(B): Xác suất của B.
5. Ứng dụng của Xác suất có điều kiện
Xác suất có điều kiện có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau, bao gồm:
- Y học: Chẩn đoán bệnh dựa trên kết quả xét nghiệm.
- Tài chính: Đánh giá rủi ro tín dụng.
- Marketing: Phân tích hành vi khách hàng.
- Khoa học máy tính: Xây dựng các hệ thống lọc spam.
6. Bài tập thực hành
Bài 1: Một cuộc khảo sát cho thấy 60% người dân thích cà phê, 50% người dân thích trà. 20% người dân thích cả cà phê và trà. Tính xác suất để một người thích cà phê hoặc trà.
Bài 2: Một nhà máy sản xuất bóng đèn. 2% bóng đèn sản xuất bị lỗi. Một kiểm tra viên kiểm tra ngẫu nhiên 100 bóng đèn. Tính xác suất để có ít nhất một bóng đèn bị lỗi.
7. Kết luận
Chương 6 đã cung cấp một cái nhìn tổng quan về xác suất có điều kiện, bao gồm định nghĩa, công thức, ví dụ minh họa và ứng dụng thực tế. Việc nắm vững kiến thức này là rất quan trọng để giải quyết các bài toán xác suất phức tạp và đưa ra các quyết định dựa trên dữ liệu.
