Giải bài 2.5 trang 44 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F là các điểm thuộc các cạnh AB, CD sao cho \(AE = \frac{1}{3}AB\) và \(CF = \frac{1}{3}CD\). Chứng minh rằng:

a) \(\overrightarrow {EF} = \overrightarrow {AD} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {CD} \);

b) \(\overrightarrow {EF} = \overrightarrow {BC} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {CD} \);

c) \(\overrightarrow {EF} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \).

Lời giải chi tiết

a) Ta có

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {EF} = \overrightarrow {EA} + \overrightarrow {AF} = - \overrightarrow {AE} + \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DF} } \right) = - \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {AD} + \left( {\overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CF} } \right)\\ = \overrightarrow {AD} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CF} = \overrightarrow {AD} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} + \frac{1}{3}\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {CD} .\end{array}\)

b) Ta có

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {EF} = \overrightarrow {EA} + \overrightarrow {AF} = \frac{{ - 1}}{3}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CF} = \frac{{ - 1}}{3}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {CD} \\ = \frac{{ - 1}}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {CD} \\ = \overrightarrow {BC} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {CD} .\end{array}\)

c) Từ ý a và ý b suy ra

\(\begin{array}{l}3\overrightarrow {EF} = \left( {\overrightarrow {AD} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {CD} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {BC} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {CD} } \right)\\ = \overrightarrow {AD} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {CD} + 2\overrightarrow {BC} + \frac{4}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {CD} \\ = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {BC} \end{array}\)

Do đó \(\overrightarrow {EF} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} \) (đ.p.c.m).