Đề bài
Trong không gian \(Oxyz\), cho ba vectơ \(\overrightarrow a = \left( {3;0;4} \right),{\rm{ }}\overrightarrow {\rm{b}} {\rm{ = }}\left( {2;7;7} \right)\) và \(\overrightarrow c = \left( {2;7;2} \right)\).
a) Tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow a - \overrightarrow b + \overrightarrow c \) và \(2\overrightarrow a + 3\overrightarrow b - 4\overrightarrow c \).
b) Tính các tích vô hướng \(\left( { - \overrightarrow a } \right) \cdot \overrightarrow b \) và \(\left( {3\overrightarrow a } \right) \cdot \overrightarrow c \).
c) Tính côsin của các góc \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\) và \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow c } \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ý a: Thực hiện phép toán cộng và trừ đối với các vectơ.
Ý b: Biến đổi biểu thức và tính tích vô hướng hai vectơ bằng công thức tọa độ.
Ý c: Tính côsin theo công thức liên hệ với tích vô hướng hai vectơ.
Lời giải chi tiết
a) Ta có \(\overrightarrow a - \overrightarrow b + \overrightarrow c = \left( {3 - 2 + 2;0 - 7 + 7;4 - 7 + 2} \right) = \left( {3;0; - 1} \right)\).
\(2\overrightarrow a + 3\overrightarrow b - 4\overrightarrow c = \left( {6 + 6 - 8;0 + 21 - 28;8 + 21 - 8} \right) = \left( {4; - 7;21} \right)\).
b) Ta có:
\(\left( { - \overrightarrow a } \right) \cdot \overrightarrow b = - \left( {\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b } \right) = - \left( {6 + 0 + 28} \right) = - 34\); \(\left( {3\overrightarrow a } \right) \cdot \overrightarrow c = 3\left( {\overrightarrow a \cdot \overrightarrow c } \right) = 3\left( {6 + 0 + 8} \right) = 42\).
c) Từ ý b ta có \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 34\) và \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow c = 14\).
Ta có \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{34}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {7^2} + {7^2}} }} = \frac{{34}}{{5 \cdot \sqrt {102} }} = \frac{{\sqrt {102} }}{{15}}\);
\(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow c } \right) = \frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow c }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow c } \right|}} = \frac{{14}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {7^2} + {2^2}} }} = \frac{{14}}{{5\sqrt {57} }}\).
