Giải bài 1.64 trang 36 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Tổng quan nội dung
Giải bài 1.64 trang 36 SBT Toán 12 Kết nối tri thức
Chào mừng bạn đến với lời giải chi tiết bài 1.64 trang 36 sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức. Bài viết này sẽ cung cấp phương pháp giải bài tập một cách dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp những lời giải chính xác và đầy đủ nhất, đồng thời giải thích rõ ràng từng bước để bạn có thể hiểu sâu sắc về bài toán.
Cho hàm số (y = {x^3} - 3{x^2} + 2) có đồ thị (C). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b) Viết phương trình tiếp tuyến (Delta ) của đồ thị (C) tại tâm đối xứng của nó. Chứng minh rằng (Delta ) là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của (C). c) Tìm các giá trị của tham số (m) để phương trình ({x^3} - 3{x^2} - m = 0) có ba nghiệm phân biệt.
Đề bài
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Viết phương trình tiếp tuyến \(\Delta \) của đồ thị (C) tại tâm đối xứng của nó. Chứng minh rằng \(\Delta \) là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của (C).
c) Tìm các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^3} - 3{x^2} - m = 0\) có ba nghiệm phân biệt.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ý a: Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
Ý b: Hoành độ tâm đối xứng là nghiệm của đạo hàm cấp 2. Tiếp tuyến tại điểm có hệ số góc là đạo hàm cấp 1 tại hoành độ điểm đó, từ đây ta viết được phương trình tiếp tuyến cần tìm cũng như tìm được giá trị nhỏ nhất của hệ số góc tiếp tuyến một cách tổng quát.
Ý c: Sử dụng sử dụng sự tương giao giữa hai đồ thị, số nghiệm phương trình là số giao điểm của hai đồ thị, kết hợp với đồ thị đã vẽ để giải quyết bài toán.
Lời giải chi tiết
a) Xét hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\).
Tập xác định: \(\mathbb{R}\).
+ Sự biến thiên:
Ta có \(y' = 3{x^2} - 6x\) suy ra \(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\).
Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\), nghịch biến trên \(\left( {0;2} \right)\).
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) và \({y_{CĐ}} = 2\).
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\) và \({y_{CT}} = - 2\).
Giới hạn tại vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \pm \infty \).
Lập bảng biến thiên:
+ Đồ thị: Đồ thị nhận \(I\left( {1;0} \right)\) làm tâm đối xứng.
b) Ta có \(\Delta \) là tiếp tuyến của (C) tại \(I\left( {1;0} \right)\) suy ra \(\Delta \) là đường thẳng có hệ số góc là \(y'\left( 1 \right)\).
Phương trình đường thẳng \(\Delta \): \(y = y'\left( 1 \right)\left( {x - 1} \right) + y\left( 1 \right) \Leftrightarrow y = - 3\left( {x - 1} \right) + 0 \Leftrightarrow y = - 3x + 3\).
Các tiếp tuyến của (C) có hệ số góc tổng quát là \(y' = 3{x^2} - 6x = 3\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - 3 = 3{\left( {x - 1} \right)^2} - 3 \ge 3\forall x\)
Suy ra hệ số góc có giá trị nhỏ nhất là -3.
Vậy \(\Delta \) là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của (C).
c) Xét phương trình \({x^3} - 3{x^2} - m = 0 \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + 2 = m + 2{\rm{ }}\left( 1 \right)\).
Số nghiệm của phương trình trên là số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng \(y = m + 2\).
Từ đồ thị (C) ta thấy, đồ thị (C) cắt đường thẳng \(y = m + 2\) tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi
\( - 2 < m + 2 < 2 \Leftrightarrow - 4 < m < 0\).
Vậy \( - 4 < m < 0\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Giải bài 1.64 trang 36 SBT Toán 12 Kết nối tri thức: Chi tiết và Dễ hiểu
Bài 1.64 trang 36 sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học. Bài tập này thường liên quan đến việc ứng dụng các kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế, đặc biệt là trong lĩnh vực kinh tế và kỹ thuật.
Nội dung bài tập 1.64 trang 36 SBT Toán 12 Kết nối tri thức
Thông thường, bài tập 1.64 yêu cầu học sinh:
- Xác định hàm số chi phí, doanh thu, lợi nhuận.
- Tính đạo hàm của các hàm số này.
- Tìm điểm cực trị của hàm số lợi nhuận để xác định mức sản xuất tối ưu.
- Phân tích ý nghĩa kinh tế của các kết quả tìm được.
Lời giải chi tiết bài 1.64 trang 36 SBT Toán 12 Kết nối tri thức
Để giải bài tập này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
- Bước 1: Xác định các hàm số liên quan. Ví dụ, nếu bài toán cho biết chi phí sản xuất là một hàm bậc hai của số lượng sản phẩm, ta cần viết biểu thức cho hàm chi phí.
- Bước 2: Tính đạo hàm của các hàm số. Sử dụng các quy tắc đạo hàm đã học để tính đạo hàm của hàm chi phí, doanh thu và lợi nhuận.
- Bước 3: Tìm điểm cực trị. Giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị của hàm số lợi nhuận.
- Bước 4: Xác định loại cực trị. Sử dụng đạo hàm bậc hai để xác định xem các điểm cực trị là điểm cực đại hay cực tiểu.
- Bước 5: Phân tích kết quả. Giải thích ý nghĩa kinh tế của các kết quả tìm được, ví dụ như mức sản xuất tối ưu để đạt lợi nhuận cao nhất.
Ví dụ minh họa
Giả sử bài toán cho hàm chi phí là C(x) = x2 + 2x + 10 và hàm doanh thu là R(x) = 5x. Khi đó, hàm lợi nhuận là P(x) = R(x) - C(x) = 5x - (x2 + 2x + 10) = -x2 + 3x - 10.
Đạo hàm của hàm lợi nhuận là P'(x) = -2x + 3. Giải phương trình P'(x) = 0, ta được x = 1.5.
Đạo hàm bậc hai của hàm lợi nhuận là P''(x) = -2. Vì P''(1.5) < 0, nên x = 1.5 là điểm cực đại của hàm lợi nhuận.
Vậy, mức sản xuất tối ưu để đạt lợi nhuận cao nhất là 1.5 đơn vị sản phẩm.
Lưu ý khi giải bài tập 1.64
- Đọc kỹ đề bài để hiểu rõ các thông tin đã cho và yêu cầu của bài toán.
- Sử dụng đúng các công thức và quy tắc đạo hàm.
- Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.
- Phân tích ý nghĩa kinh tế của các kết quả tìm được.
Tusach.vn – Nguồn tài liệu học tập Toán 12 uy tín
Tusach.vn là một website cung cấp đầy đủ các tài liệu học tập Toán 12, bao gồm sách giáo khoa, sách bài tập, đề thi và lời giải chi tiết. Chúng tôi luôn cập nhật những tài liệu mới nhất và chất lượng nhất để giúp bạn học tập hiệu quả.
Hãy truy cập tusach.vn để khám phá thêm nhiều tài liệu hữu ích khác và nâng cao kiến thức Toán 12 của bạn!