Đề bài
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Viết phương trình tiếp tuyến \(\Delta \) của đồ thị (C) tại tâm đối xứng của nó. Chứng minh rằng \(\Delta \) là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của (C).
c) Tìm các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^3} - 3{x^2} - m = 0\) có ba nghiệm phân biệt.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ý a: Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
Ý b: Hoành độ tâm đối xứng là nghiệm của đạo hàm cấp 2. Tiếp tuyến tại điểm có hệ số góc là đạo hàm cấp 1 tại hoành độ điểm đó, từ đây ta viết được phương trình tiếp tuyến cần tìm cũng như tìm được giá trị nhỏ nhất của hệ số góc tiếp tuyến một cách tổng quát.
Ý c: Sử dụng sử dụng sự tương giao giữa hai đồ thị, số nghiệm phương trình là số giao điểm của hai đồ thị, kết hợp với đồ thị đã vẽ để giải quyết bài toán.
Lời giải chi tiết
a) Xét hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\).
Tập xác định: \(\mathbb{R}\).
+ Sự biến thiên:
Ta có \(y' = 3{x^2} - 6x\) suy ra \(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\).
Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\), nghịch biến trên \(\left( {0;2} \right)\).
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) và \({y_{CĐ}} = 2\).
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\) và \({y_{CT}} = - 2\).
Giới hạn tại vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \pm \infty \).
Lập bảng biến thiên:
+ Đồ thị: Đồ thị nhận \(I\left( {1;0} \right)\) làm tâm đối xứng.
b) Ta có \(\Delta \) là tiếp tuyến của (C) tại \(I\left( {1;0} \right)\) suy ra \(\Delta \) là đường thẳng có hệ số góc là \(y'\left( 1 \right)\).
Phương trình đường thẳng \(\Delta \): \(y = y'\left( 1 \right)\left( {x - 1} \right) + y\left( 1 \right) \Leftrightarrow y = - 3\left( {x - 1} \right) + 0 \Leftrightarrow y = - 3x + 3\).
Các tiếp tuyến của (C) có hệ số góc tổng quát là \(y' = 3{x^2} - 6x = 3\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - 3 = 3{\left( {x - 1} \right)^2} - 3 \ge 3\forall x\)
Suy ra hệ số góc có giá trị nhỏ nhất là -3.
Vậy \(\Delta \) là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của (C).
c) Xét phương trình \({x^3} - 3{x^2} - m = 0 \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + 2 = m + 2{\rm{ }}\left( 1 \right)\).
Số nghiệm của phương trình trên là số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng \(y = m + 2\).
Từ đồ thị (C) ta thấy, đồ thị (C) cắt đường thẳng \(y = m + 2\) tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi
\( - 2 < m + 2 < 2 \Leftrightarrow - 4 < m < 0\).
Vậy \( - 4 < m < 0\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
