Bài 14. Phương trình mặt phẳng

Bài 14. Phương trình mặt phẳng - Tổng quan

Trong hình học không gian, mặt phẳng là một khái niệm cơ bản. Để mô tả một mặt phẳng trong không gian, chúng ta sử dụng phương trình mặt phẳng. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về phương trình mặt phẳng, bao gồm các dạng phương trình, cách xác định mặt phẳng và ứng dụng của chúng.

1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Một vectơ được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng nếu vectơ đó vuông góc với mọi vectơ nằm trong mặt phẳng. Vectơ pháp tuyến đóng vai trò quan trọng trong việc xác định phương trình của mặt phẳng.

Nếu n = (a; b; c) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng, thì phương trình của mặt phẳng có dạng:

a(x - x₀) + b(y - y₀) + c(z - z₀) = 0

Trong đó (x₀; y₀; z₀) là tọa độ của một điểm thuộc mặt phẳng.

2. Các dạng phương trình của mặt phẳng

1. Phương trình tổng quát của mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = 0, với A, B, C không đồng thời bằng 0. Vectơ n = (A; B; C) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
2. Phương trình tham số của mặt phẳng:
   • x = x₀ + a₁t + a₂s
   • y = y₀ + b₁t + b₂s
   • z = z₀ + c₁t + c₂s
   Trong đó (x₀; y₀; z₀) là tọa độ của một điểm thuộc mặt phẳng, và u = (a₁; b₁; c₁) và v = (a₂; b₂; c₂) là hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng.

3. Xác định mặt phẳng

Có nhiều cách để xác định một mặt phẳng:

• Khi biết một điểm và một vectơ pháp tuyến: Sử dụng phương trình tổng quát.
• Khi biết ba điểm không thẳng hàng: Tìm vectơ pháp tuyến bằng cách lấy tích có hướng của hai vectơ tạo bởi ba điểm đó, sau đó sử dụng phương trình tổng quát.
• Khi biết một điểm và hai vectơ chỉ phương: Tìm vectơ pháp tuyến bằng cách lấy tích có hướng của hai vectơ chỉ phương, sau đó sử dụng phương trình tổng quát.

4. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vectơ pháp tuyến n = (2; -1; 1).

Giải: Phương trình mặt phẳng là: 2(x - 1) - (y - 2) + (z - 3) = 0 ⇔ 2x - y + z - 3 = 0

Ví dụ 2: Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0) và C(0; 0; 1).

Giải:

1. AB = (-1; 1; 0)
2. AC = (-1; 0; 1)
3. n = AB x AC = (1; 1; 1)
4. Phương trình mặt phẳng: (x - 1) + (y - 0) + (z - 0) = 0 ⇔ x + y + z - 1 = 0

5. Ứng dụng của phương trình mặt phẳng

Phương trình mặt phẳng có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

• Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
• Xác định góc giữa hai mặt phẳng.
• Giải các bài toán về hình học không gian.

Kết luận

Bài 14. Phương trình mặt phẳng cung cấp những kiến thức cơ bản và quan trọng về mặt phẳng trong không gian. Việc nắm vững các khái niệm và công thức trong bài học này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán hình học không gian một cách hiệu quả.