Đề bài
Một con lắc lò xo, gồm một vật nặng có khối lượng \(1\) kg được gắn vào một lò xo được cố định một đầu, dao động điều hòa với biên độ \(A = 0,24\) m và chu kì \(T = 4\) giây. Vị trí \(x\) (mét) của vật tại thời điểm \(t\) được cho bởi \(x\left( t \right) = A\cos \left( {\omega t} \right)\), trong đó \(\omega = \frac{{2\pi }}{T}\) là tần số góc và thời gian \(t\) tính bằng giây.
a) Tìm vị trí của vật tại thời điểm \(t\) và tại thời điểm \(t = 0,5\) giây.
b) Tìm vận tốc \(v\) của vật tại thời điểm \(t\) giây và tìm vận tốc của vật khi \(t = 0,5\) giây.
c) Tìm gia tốc \(a\) của vật.
d) Sử dụng định luật thứ hai của Newton \(F = ma\), tìm độ lớn và hướng của lực tác dụng lên vật khi \(t = 0,5\) giây.
e) Tìm thời gian tối thiểu để vật chuyển động từ vị trí ban đầu đến vị trí \(x = - 0,12\) m. Tìm vận tốc của vật khi \(x = - 0,12\) m.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Tính tần số góc \(\omega \) theo công thức trong đề bài, sau đó thay vào công thức \(x\left( t \right)\)-vị trí của vật tại thời điểm \(t\).
Ý a: Tính \(x\left( {0,5} \right)\).
Ý b: Tìm công thức vận tốc \(v\left( t \right) = x'\left( t \right)\) sau đó tính vận tốc của vật tại thời điểm \(t = 0,5\) giây là \(v\left( {0,5} \right)\).
Ý c: Tính gia tốc \(a = v'\left( t \right)\).
Ý d: Tính \(F\left( {0,5} \right) = m \cdot a\left( {0,5} \right)\) với \(m = 1\). Lấy giá trị tuyệt đối của kết quả vừa tính ta thu được độ lớn của lực, còn hướng của lực dựa trên dấu của kết quả \(F\left( {0,5} \right)\) đã tính, nếu âm thì ngược hướng và ngược lại.
Ý e: Kiểm tra xem vị trí ban đầu \(x\left( 0 \right)\) có trùng với \(x = - 0,12\) không (so sánh). Nếu không trùng thì giải phương trình lượng giác \(x\left( t \right) = 0,24\cos \frac{{\pi t}}{2} = - 0,12\) để tìm \(t\), sau đó tìm xem \(t\) dương nhỏ nhất là bao nhiêu.
Lời giải chi tiết
Ta có \(\omega = \frac{{2\pi }}{T} = \frac{{2\pi }}{4} = \frac{\pi }{2}\). Suy ra \(x\left( t \right) = A\cos \left( {\omega t} \right) = 0,24\cos \frac{{\pi t}}{2}\)
a) Vị trí của vật tại thời điểm \(t = 0,5\) giây là \(x\left( {0,5} \right) = 0,24\cos \frac{{0,5\pi }}{2} = \frac{3}{{25}}\sqrt 2 \) (m)
b) Vận tốc của vật là \(v\left( t \right) = x'\left( t \right) = - 0,12\pi \sin \frac{{\pi t}}{2}\) (m/s).
Vận tốc của vật tại thời điểm \(t = 0,5\) giây là \(v\left( {0,5} \right) = - 0,12\pi \sin \frac{{0,5\pi }}{2} = \frac{{ - 3}}{{50}}\pi \sqrt 2 \) (m/s).
c) Gia tốc của vật là \(a = v'\left( t \right) = - \frac{3}{{50}}{\pi ^2}\cos \frac{{\pi t}}{2}\) (m/s2)
d) Lực tác dụng lên vật tại thời điểm \(t = 0,5\) giây là
\(F\left( {0,5} \right) = m \cdot a\left( {0,5} \right) = 1 \cdot \left( { - \frac{3}{{50}}{\pi ^2}\cos \frac{{\pi \cdot 0,5}}{2}} \right) = - \frac{{3{\pi ^2}\sqrt 2 }}{{100}}\) (N)
Vậy độ lớn của lực tác dụng lên vật tại thời điểm \(t = 0,5\) giây là \(\frac{{3{\pi ^2}\sqrt 2 }}{{100}}\) (N) và có hướng ngược với chiều dương của trục đã chọn.
e) Vị trí ban đầu của vật là \(x\left( 0 \right) = 0,24\) (m) do đó vị trí ban đầu không trùng với vị trí \(x = - 0,12\) m.
Xét vị trí \(x = - 0,12\) m ta có: \(x\left( t \right) = 0,24\cos \frac{{\pi t}}{2} = - 0,12 \Leftrightarrow \cos \frac{{\pi t}}{2} = - \frac{1}{2}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{2} = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\) \( \Leftrightarrow t = \frac{4}{3} + 4k,k \in \mathbb{Z}\).
Ta có \(t > 0\), do đó \(t\) dương nhỏ nhất khi \(k = 0\) hay \(t = \frac{4}{3}\).
Vậy thời gian tối thiểu để vật chuyển động từ vị trí ban đầu đến vị trí \(x = - 0,12\) m là \(t = \frac{4}{3}\) giây.
