Bài 6. Vecto trong không gian - Giải chi tiết và đầy đủ
Bài 6 chương trình Toán 12 đi sâu vào kiến thức về vecto trong không gian ba chiều, một phần quan trọng của hình học không gian. Việc nắm vững kiến thức này không chỉ giúp học sinh giải quyết các bài tập trong sách giáo khoa mà còn là nền tảng cho các kiến thức nâng cao hơn trong chương trình học.
1. Khái niệm cơ bản về Vectơ trong không gian
Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Nó được xác định bởi điểm gốc và điểm cuối. Vectơ được ký hiệu là AB, trong đó A là điểm gốc và B là điểm cuối. Vectơ có các đặc trưng quan trọng như độ dài (magnitude) và hướng.
2. Các phép toán với Vectơ trong không gian
- Phép cộng Vectơ:AB + CD được thực hiện bằng quy tắc hình bình hành hoặc quy tắc tam giác.
- Phép trừ Vectơ:AB - CD tương đương với AB + DC.
- Phép nhân Vectơ với một số thực:k * AB làm thay đổi độ dài của vectơ (nếu k > 0 thì cùng hướng, k < 0 thì ngược hướng).
3. Biểu diễn Vectơ trong không gian bằng tọa độ
Trong không gian Oxyz, một vectơ AB với A(xA, yA, zA) và B(xB, yB, zB) được biểu diễn bằng tọa độ (xB - xA, yB - yA, zB - zA).
4. Các tích của Vectơ trong không gian
- Tích vô hướng:AB . CD = |AB| * |CD| * cos(θ), với θ là góc giữa hai vectơ. Tích vô hướng được sử dụng để tính góc giữa hai vectơ và kiểm tra tính vuông góc.
- Tích có hướng:AB x CD là một vectơ vuông góc với cả hai vectơ AB và CD. Độ dài của tích có hướng bằng diện tích hình bình hành tạo bởi hai vectơ.
5. Ứng dụng của Vectơ trong không gian
Vectơ trong không gian có nhiều ứng dụng trong việc giải các bài toán hình học không gian, bao gồm:
- Chứng minh các đẳng thức hình học.
- Tính khoảng cách giữa hai điểm, giữa điểm và mặt phẳng.
- Tìm phương trình của đường thẳng, mặt phẳng.
6. Bài tập ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho A(1, 2, 3) và B(4, 5, 6). Tìm tọa độ của vectơ AB.
Giải:AB = (4 - 1, 5 - 2, 6 - 3) = (3, 3, 3)
Ví dụ 2: Cho a = (1, 2, 3) và b = (4, 5, 6). Tính tích vô hướng a . b.
Giải:a . b = 1*4 + 2*5 + 3*6 = 4 + 10 + 18 = 32
7. Lời khuyên khi học Bài 6. Vecto trong không gian
Để học tốt Bài 6, bạn nên:
- Nắm vững các khái niệm cơ bản về vectơ.
- Luyện tập các phép toán với vectơ.
- Hiểu rõ cách biểu diễn vectơ bằng tọa độ.
- Áp dụng các kiến thức đã học để giải các bài tập.
Chúc các bạn học tốt môn Toán 12!
