Giải bài 1.45 trang 32 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức

Giải bài 1.45 trang 32 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Giải bài 1.45 trang 32 SBT Toán 12 Kết nối tri thức

Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài 1.45 trang 32 sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức. Bài viết này sẽ cung cấp phương pháp giải bài tập một cách dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.

Tusach.vn luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán.

Chứng tỏ rẳng một thùng hình trụ có thể tích (V) cố định cần ít vật liệu sản xuất nhất (tức là có diện tích bề mặt nhỏ nhất) khi chiều cao của thùng gấp đôi bán kính đáy.

Đề bài

Chứng tỏ rẳng một thùng hình trụ có thể tích \(V\) cố định cần ít vật liệu sản xuất nhất (tức là có diện tích bề mặt nhỏ nhất) khi chiều cao của thùng gấp đôi bán kính đáy.

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài 1.45 trang 32 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức 1

+ Đặt độ dài đáy của thùng là \(r\).

+ Biểu diễn chiều cao theo \(r\), từ đó thu được công thức diện tích của thùng \(S\).

+ Tìm giá trị nhỏ nhất của \(S\).

Lời giải chi tiết

Gọi bán kính đáy của thùng hình trụ là \(r\), \(r > 0\). Khi đó diện tích một đáy hình trụ là \(\pi {r^2}\).

Suy ra chiều cao của hình trụ là \(\frac{V}{{\pi {r^2}}}\).

Do đó diện tích bề mặt hình trụ là \(S = 2\pi {r^2} + 2\pi r\frac{V}{{\pi {r^2}}} = 2\pi {r^2} + \frac{{2V}}{r}\)

Xét hàm số \(S = 2\pi {r^2} + \frac{{2V}}{r},r > 0\). Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm \(S\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Ta có \(S' = 4\pi r - \frac{{2V}}{{{r^2}}} = \frac{{4\pi {r^3} - 2V}}{{{r^2}}}\) khi đó \(S' = 0 \Leftrightarrow \frac{{4\pi {r^3} - 2V}}{{{r^2}}} = 0 \Leftrightarrow r = \sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}\).

Lập bảng biến thiên

Giải bài 1.45 trang 32 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức 2

Từ bảng biến thiên suy ra \(S\) đạt giá trị lớn nhất khi \(r = \sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}\), ta thấy chiều cao hình trụ khi đó là \(\frac{V}{{\pi {r^2}}} = \frac{V}{{\pi {{\left( {\sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}} \right)}^2}}} = \frac{V}{{\left( {\pi \cdot \frac{{{V^{\frac{2}{3}}}}}{{{{\left( {2\pi } \right)}^{\frac{2}{3}}}}}} \right)}} = \frac{V}{{\frac{{\sqrt[3]{\pi }}}{{\sqrt[3]{4}}} \cdot {V^{\frac{2}{3}}}}} = \frac{{\sqrt[3]{V} \cdot \sqrt[3]{4}}}{{\sqrt[3]{\pi }}} = \frac{{2\sqrt[3]{V}}}{{\sqrt[3]{{2\pi }}}} = 2r\).

Vậy để vật liệu sản xuất thùng ít nhất thì chiều cao gấp đôi bán kính đáy (điều phải chứng minh).

Giải bài 1.45 trang 32 SBT Toán 12 Kết nối tri thức: Tổng quan và Phương pháp

Bài 1.45 trang 32 sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học, thường liên quan đến kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, các em cần nắm vững các khái niệm cơ bản như đạo hàm, cực trị, điểm uốn, và các phương pháp tìm cực trị, điểm uốn của hàm số.

Nội dung bài tập 1.45 trang 32 SBT Toán 12 Kết nối tri thức

Thông thường, bài tập 1.45 sẽ yêu cầu các em:

Tìm đạo hàm của hàm số đã cho.
Xác định các điểm cực trị của hàm số.
Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Tìm điểm uốn của hàm số.
Vẽ đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết bài 1.45 trang 32 SBT Toán 12 Kết nối tri thức

Để giúp các em hiểu rõ hơn về cách giải bài tập này, chúng ta sẽ cùng nhau đi qua lời giải chi tiết. (Ở đây sẽ là lời giải chi tiết của bài tập 1.45, bao gồm các bước giải cụ thể, giải thích rõ ràng và các lưu ý quan trọng. Ví dụ:)

Ví dụ (giả định): Giả sử bài tập yêu cầu tìm cực trị của hàm số y = x³ - 3x² + 2.

Bước 1: Tính đạo hàm cấp nhất: y' = 3x² - 6x
Bước 2: Tìm điểm cực trị: Giải phương trình y' = 0, ta được x = 0 hoặc x = 2.
Bước 3: Xác định loại cực trị:
- Với x < 0, y' > 0, hàm số đồng biến.
- Với 0 < x < 2, y' < 0, hàm số nghịch biến.
- Với x > 2, y' > 0, hàm số đồng biến.
Vậy, hàm số đạt cực đại tại x = 0 và cực tiểu tại x = 2.
Bước 4: Tính giá trị cực đại, cực tiểu:
- y(0) = 2 (cực đại)
- y(2) = -2 (cực tiểu)

Mẹo giải bài tập đạo hàm và ứng dụng

Để giải các bài tập về đạo hàm và ứng dụng một cách hiệu quả, các em nên:

Nắm vững các công thức đạo hàm cơ bản.
Luyện tập thường xuyên để làm quen với các dạng bài tập khác nhau.
Sử dụng các công cụ hỗ trợ như máy tính bỏ túi hoặc phần mềm vẽ đồ thị để kiểm tra kết quả.
Đọc kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu của bài tập.

Tài liệu tham khảo hữu ích

Ngoài sách giáo khoa và sách bài tập, các em có thể tham khảo thêm các tài liệu sau:

Các trang web học Toán trực tuyến như tusach.vn.
Các video bài giảng trên YouTube.
Các diễn đàn học Toán.

Kết luận

Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và các mẹo giải bài tập trên, các em sẽ tự tin hơn trong việc giải bài 1.45 trang 32 SBT Toán 12 Kết nối tri thức và các bài tập tương tự. Chúc các em học tập tốt!