Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - Tổng quan

Chương 1 trong chương trình Toán 12 tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để phân tích và vẽ đồ thị hàm số. Đây là một phần kiến thức then chốt, không chỉ quan trọng cho kỳ thi THPT Quốc gia mà còn là nền tảng cho các môn học liên quan đến toán học ở bậc đại học.

1. Các khái niệm cơ bản

• Đạo hàm: Tốc độ thay đổi tức thời của hàm số tại một điểm.
• Cực trị của hàm số: Điểm mà hàm số đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trong một khoảng nào đó.
• Điểm uốn: Điểm mà đồ thị hàm số thay đổi từ lồi sang lõm hoặc ngược lại.
• Khoảng đơn điệu: Khoảng mà hàm số luôn tăng hoặc luôn giảm.

2. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số

1. Xác định tập xác định của hàm số.
2. Tính đạo hàm cấp nhất (f'(x)).
3. Tìm các điểm tới hạn: Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
4. Xác định khoảng đơn điệu: Sử dụng dấu của f'(x) để xác định khoảng hàm số tăng, giảm.
5. Tìm cực trị: Sử dụng dấu của f'(x) để xác định điểm cực đại, cực tiểu.
6. Tính đạo hàm cấp hai (f''(x)).
7. Tìm điểm uốn: Giải phương trình f''(x) = 0 để tìm các điểm uốn.
8. Xác định khoảng lồi, lõm: Sử dụng dấu của f''(x) để xác định khoảng hàm số lồi, lõm.

3. Vẽ đồ thị hàm số

Sau khi khảo sát hàm số, chúng ta có thể vẽ đồ thị hàm số bằng cách:

• Xác định các điểm đặc biệt: giao điểm với các trục tọa độ, cực trị, điểm uốn.
• Vẽ các đường tiệm cận (nếu có).
• Kết nối các điểm và sử dụng thông tin về khoảng đơn điệu, khoảng lồi lõm để vẽ đồ thị một cách chính xác.

4. Ví dụ minh họa

Xét hàm số y = x³ - 3x² + 2.

Bước 1: Tập xác định: D = R.

Bước 2: Đạo hàm cấp nhất: y' = 3x² - 6x.

Bước 3: Giải phương trình y' = 0: 3x² - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2.

Bước 4: Xác định khoảng đơn điệu:...

Bước 5: Tìm cực trị:...

Bước 6: Đạo hàm cấp hai: y'' = 6x - 6.

Bước 7: Giải phương trình y'' = 0: 6x - 6 = 0 => x = 1.

Bước 8: Xác định khoảng lồi lõm:...

5. Bài tập thực hành

Để củng cố kiến thức, hãy thực hành với các bài tập sau:

• Khảo sát hàm số y = x⁴ - 4x² + 3.
• Khảo sát hàm số y = (x-1)/(x+1).

6. Lời khuyên khi học tập

Để học tốt chương này, bạn cần:

• Nắm vững các khái niệm cơ bản về đạo hàm.
• Luyện tập nhiều bài tập để làm quen với các dạng bài khác nhau.
• Sử dụng các công cụ hỗ trợ như máy tính cầm tay hoặc phần mềm vẽ đồ thị.

tusach.vn hy vọng với tài liệu này, bạn sẽ học tập hiệu quả và đạt kết quả tốt trong môn Toán!