Bài 11. Nguyên hàm

Bài 11. Nguyên hàm - Lý thuyết và Phương pháp Giải chi tiết

Chào mừng các bạn đến với bài học Bài 11. Nguyên hàm trong chương trình Giải tích lớp 12. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan về khái niệm nguyên hàm, các tính chất của nguyên hàm, và các phương pháp tìm nguyên hàm của một hàm số. Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá những kiến thức quan trọng này một cách chi tiết và dễ hiểu.

1. Khái niệm Nguyên hàm

Một hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng I nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc I. Nói cách khác, nguyên hàm là quá trình ngược lại của phép lấy đạo hàm.

2. Tính chất của Nguyên hàm

Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x), với C là một hằng số bất kỳ.
Hàm số f(x) có vô số nguyên hàm, chúng khác nhau ở hằng số cộng.

3. Các quy tắc tìm nguyên hàm cơ bản

Nguyên hàm của hàm lũy thừa: ∫xⁿ dx = (xⁿ⁺¹)/(n+1) + C (với n ≠ -1)
Nguyên hàm của hàm lượng giác:
- ∫sin(x) dx = -cos(x) + C
- ∫cos(x) dx = sin(x) + C
Nguyên hàm của hàm mũ: ∫e^x dx = e^x + C
Nguyên hàm của hàm nghịch đảo: ∫(1/x) dx = ln|x| + C

4. Phương pháp tìm nguyên hàm

Có nhiều phương pháp để tìm nguyên hàm, trong đó phổ biến nhất là:

Phương pháp đặt ẩn phụ: Sử dụng để đơn giản hóa biểu thức tích phân.
Phương pháp tích phân từng phần: Áp dụng cho các tích phân có dạng ∫u dv. Công thức: ∫u dv = uv - ∫v du
Phương pháp phân tích thành nhân tử: Sử dụng để tách tích phân thành các tích phân đơn giản hơn.

5. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x³ + 3x² - 5.

Giải:

∫(2x³ + 3x² - 5) dx = 2∫x³ dx + 3∫x² dx - 5∫dx = 2(x⁴/4) + 3(x³/3) - 5x + C = (x⁴/2) + x³ - 5x + C

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = xsin(x).

Giải:

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần: Đặt u = x, dv = sin(x) dx. Khi đó, du = dx, v = -cos(x). ∫xsin(x) dx = -xcos(x) - ∫(-cos(x)) dx = -xcos(x) + ∫cos(x) dx = -xcos(x) + sin(x) + C

6. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, các bạn hãy tự giải các bài tập sau:

Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 4x² - 7x + 1.
Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = cos(2x).
Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = xe^x.

Hy vọng bài học Bài 11. Nguyên hàm này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích và giúp bạn tự tin hơn trong việc giải các bài toán liên quan đến nguyên hàm và tích phân. Chúc các bạn học tốt!