Đề bài
Một mẫu giấy in hình chữ nhật được thiết kế với vùng in có diện tích \(300\) cm2, lề trái và lề phải là \(2\) cm, lề trên và lề dưới là \(3\) cm. Gọi \(x\) (cm) là chiều rộng của tờ giấy.
a) Tính diện tích của tờ giấy theo \(x\).
b) Kí hiệu diện tích tờ giấy là \(S\left( x \right)\). Khảo sát sự biến thiên của hàm số \(y = S\left( x \right)\).
c) Tìm kích thước của tờ giấy sao cho nguyên liệu giấy được sử dụng là ít nhất.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ý a:
+ Gọi y là chiều dài, từ diện tích vùng in, biểu diễn \(y\) theo \(x\)
+ Tiếp theo tính diện tích mẫu giấy \(S\left( x \right) = xy\).
Ý b:
+ Khảo sát hàm số \(S\left( x \right)\) trên \(\left( {4; + \infty } \right)\).
Ý c: Tìm giá trị nhỏ nhất của \(S\left( x \right)\) dựa trên bảng biến thiên đã lập ở ý b, tìm giá trị \(x,{\rm{ y}}\)để hàm đạt giá trị nhỏ nhất đó.
Lời giải chi tiết
Gọi \(y\) (cm) là chiều dài của tờ giấy.
Khi đó diện tích vùng in của tờ giấy là \(\left( {x - 4} \right)\left( {y - 6} \right) = 300\) (cm2)
Suy ra \(y = 6 + \frac{{300}}{{x - 4}}\).
a) Diện tích của tờ giấy là \(S\left( x \right) = xy = x\left( {6 + \frac{{300}}{{x - 4}}} \right) = \frac{{x\left( {6x + 276} \right)}}{{x - 4}}\)
b) Tập xác định \(\left( {4; + \infty } \right)\).
Sự biến thiên: \(S\left( x \right) = 6x + 300 + \frac{{1200}}{{x - 4}}\) khi đó \(S'\left( x \right) = \frac{{6{{\left( {x - 4} \right)}^2} - 1200}}{{{{\left( {x - 4} \right)}^2}}}\)
+ Ta có \(S'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{6{{\left( {x - 4} \right)}^2} - 1200}}{{{{\left( {x - 4} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow 6{\left( {x - 4} \right)^2} - 1200 = 0 \Leftrightarrow x = 4 + 10\sqrt 2 \).
+ Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {4 + 10\sqrt 2 ; + \infty } \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( {4;4 + 10\sqrt 2 } \right)\).
+ Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 4 + 10\sqrt 2 \).
+ Bảng biến thiên:
c) Để sử dụng ít nguyên liệu nhất thì tờ giấy có diện tích bé nhất hay \(S\left( x \right)\) nhỏ nhất.
Từ bảng biến thiên ta suy ra \(S\left( x \right)\) nhỏ nhất tại \(x = 4 + 10\sqrt 2 \) suy ra \(y = 6 + \frac{{300}}{{x - 4}} = 6 + \frac{{30}}{{\sqrt 2 }}\). Vậy chiều rộng bằng \(4 + 10\sqrt 2 \), chiều dài bằng \(6 + \frac{{30}}{{\sqrt 2 }}\) thì nguyên liệu giấy được sử dụng ít nhất.
