Bài 5. Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Bài 5: Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Chào mừng các bạn đến với bài học số 5 trong chương trình Giải tích lớp 12, một bài học vô cùng quan trọng và có tính ứng dụng cao. Trong bài học này, chúng ta sẽ không chỉ ôn lại kiến thức về đạo hàm mà còn học cách vận dụng nó để giải quyết các bài toán thực tế, giúp các bạn hiểu rõ hơn về sức mạnh của toán học trong cuộc sống.

I. Tại sao cần ứng dụng đạo hàm vào thực tế?

Đạo hàm là công cụ mạnh mẽ để phân tích sự thay đổi của một hàm số. Trong thực tế, rất nhiều bài toán liên quan đến sự thay đổi, ví dụ như:

• Tối ưu hóa: Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một đại lượng nào đó (ví dụ: lợi nhuận, chi phí, diện tích, thể tích).
• Nghiên cứu tốc độ thay đổi: Xác định tốc độ tăng trưởng, suy giảm của một hiện tượng nào đó (ví dụ: tốc độ tăng dân số, tốc độ lây lan dịch bệnh).
• Tìm điểm cực trị: Xác định các điểm mà tại đó hàm số đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.

II. Các bước giải quyết bài toán ứng dụng đạo hàm

1. Xác định hàm số: Biểu diễn đại lượng cần tìm theo một hàm số f(x).
2. Tìm tập xác định: Xác định miền giá trị của x.
3. Tính đạo hàm: Tính f'(x).
4. Giải phương trình f'(x) = 0: Tìm các điểm dừng của hàm số.
5. Xét dấu đạo hàm: Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
6. Kết luận: Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên tập xác định.

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một người nông dân muốn rào một khu vườn hình chữ nhật có diện tích 100m². Hỏi người đó cần dùng bao nhiêu mét hàng rào để rào khu vườn với chi phí thấp nhất?

Giải:

• Gọi chiều dài và chiều rộng của khu vườn lần lượt là x và y.
• Diện tích khu vườn là xy = 100 => y = 100/x
• Chu vi khu vườn là P = 2(x + y) = 2(x + 100/x)
• Đạo hàm của P theo x là P'(x) = 2(1 - 100/x²)
• Giải phương trình P'(x) = 0 => x = 10
• Khi x = 10 thì y = 10. Vậy khu vườn có hình vuông với cạnh 10m.
• Chu vi nhỏ nhất là P = 2(10 + 10) = 40m

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = -x² + 4x + 5.

Giải:

• f'(x) = -2x + 4
• Giải phương trình f'(x) = 0 => x = 2
• f''(x) = -2 < 0 => Hàm số đạt cực đại tại x = 2
• Giá trị lớn nhất của hàm số là f(2) = -2² + 4(2) + 5 = 9

IV. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, các bạn hãy tự giải các bài tập sau:

• Bài 1: Một công ty sản xuất hộp thiếc hình trụ có thể tích 1000cm³. Hỏi bán kính đáy của hộp thiếc phải bằng bao nhiêu để diện tích toàn phần của hộp thiếc nhỏ nhất?
• Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2.

Hy vọng bài học này đã giúp các bạn hiểu rõ hơn về ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán thực tế. Chúc các bạn học tốt và thành công!