Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Trong chương trình Toán học, đặc biệt là Giải tích, việc tìm giá trị lớn nhất (max) và giá trị nhỏ nhất (min) của một hàm số là một bài toán cơ bản và quan trọng. Bài toán này có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như kinh tế, kỹ thuật, vật lý và khoa học máy tính.

1. Khái niệm cơ bản

Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K.

• Giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên K là số M sao cho f(x) ≤ M với mọi x thuộc K và tồn tại ít nhất một x₀ thuộc K sao cho f(x₀) = M.
• Giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên K là số m sao cho f(x) ≥ m với mọi x thuộc K và tồn tại ít nhất một x₀ thuộc K sao cho f(x₀) = m.

2. Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Có hai phương pháp chính để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

1. Sử dụng đạo hàm:
• Tìm tập xác định của hàm số.
• Tính đạo hàm f'(x).
• Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm dừng.
• Lập bảng biến thiên hoặc xét dấu đạo hàm để xác định các điểm cực trị (cực đại, cực tiểu).
• Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và các điểm biên của khoảng xác định.
• So sánh các giá trị này để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
2. Sử dụng bất đẳng thức:

Trong một số trường hợp, có thể sử dụng các bất đẳng thức như bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, bất đẳng thức AM-GM để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x² - 4x + 3 trên khoảng [0; 3].

Giải:

• f'(x) = 2x - 4
• f'(x) = 0 ⇔ 2x - 4 = 0 ⇔ x = 2
• f(0) = 3
• f(2) = 2² - 4(2) + 3 = -1
• f(3) = 3² - 4(3) + 3 = 0

Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng [0; 3] là 3 tại x = 0 và giá trị nhỏ nhất là -1 tại x = 2.

4. Lưu ý quan trọng

Khi tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng đóng, cần nhớ kiểm tra cả các điểm biên của khoảng đó. Đôi khi, giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất có thể xảy ra tại một trong các điểm biên.

5. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, bạn hãy thử giải các bài tập sau:

• Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = -x² + 6x - 5 trên khoảng [1; 4].
• Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 trên khoảng [-1; 2].

Chúc bạn học tốt và thành công!